15-Mavzu: Yuqori tartibli hosila va differensiallar. Differensial hisobning asosiy teoremalari: Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari. Lopital qoidasi. Reja

Differensial hisobning asosiy teoremalari.
Quyida differensial hisobning asosiy teoremalari deb ataluvchi teoremalarni keltiramiz.
8-teorema (Ferma teoremasi). funktsiya intervalda berilgan bo’lib, u shu intervalning biror c nuqtasida o’zining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishsin.
Agar funktsiya c nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda
=0
bo’ladi.
Isbot. Aytaylik , funktsiya c nuqtada (c o’zining eng katta qiymatiga erishsin.Unda uchun

yani

bo’ladi.
Qaralayotgan funktsiya c nuqtada hosilaga ega. Binobarin, shu nuqtada funktsiyaning o’ng hosilasi mavjud va

shuningdek chap hosilasi mavjud va

bo’lib,

munosabatlardan

Bo’lishi kelib chiqadi. Funktsiyaning c nuqtada eng kichik qiymatiga ega bo’lib,uning
shu nuqtada hosilasi mavjud bo’lganda bo’lishi shunga o’xshash ko’rsatiladi. Teorema isbot bo’ldi.
9-Teorema (Roll teoremasi.) funktsiya [a, b]segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsin. Agarfunktsiya (a,b) intervalda chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda shunday c nuqta (c topiladiki,

bo’ladi.
10-teorema.(logranj teoremasi) f funktsiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz
bo’lsin. Agar funktsiya (a,b) da chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda shunday c nuqta
topiladiki,

bo’ladi.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun quyidagi yordamchi

funktsiyani tuzamiz. Shartga ko’ra funktsiya [a, b] segmentda aniqlangan va
uzluksiz bo’li, da hosilaga ega bo’lgani uchun bu funktsiya ham
[a, b] segmentda anqlangan va uzluksiz bo’lib, (a,b) da
(14)
ga ega bo’ldi.
Bevosita hisolab topamiz:

Demak, funktsiya Roll teoremasining barcha shartlarni qanoatlantiradi. U holda
Shunday c nuqta (c topiladiki,

Bo’ladi. tengliklardan

kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.