16- mavzu. Bir oʼzgaruvchili funksiya uchun integral hisob 10. Бошланғич функция тушунчаси

2-Теорема. Агар бўлса, у ҳолда функция да бошланғич функцияга эга бўлади.
Бу теореманинг исботи 34- маърузада келтирилади.
2⁰. Функциянинг аниқмас интеграли. Интегралнинг хоссалари. Айтайлик, да функция берилган бўлиб, функция унинг бирор бошланғич функцияси бўлсин:
.
У ҳолда берилган функциянинг ихтиёрий бошланғич функцияси

кўринишда ифодаланади.
3-таъриф. Ушбу

ифода функциянинг аниқмас интеграли дейилади ва

каби белгиланади. Бунда - интеграл белгиси, интеграл остидаги функция, интеграл остидаги ифода дейилади.
Демак,

Шундай қилиб, интервалда функциянинг аниқмас интеграли да ҳосиласи шу га тенг бўлган функциянинг умумий кўринишини ифодалар экан.
2-мисол. Ушбу

интеграл топилсин.
◄ Аниқмас интеграл таърифига кўра, шундай функция топилиши керакки, бўлсин. Агар

дейилса, равшанки, бўлади. Демак,
. ►
3-мисол. Ушбу

аниқмас интеграл топилсин.
◄ Равшанки,

функция учун

бўлади. Демак,
. ►
Энди аниқмас интегралнинг хоссаларини келтирамиз. Бундан буён аниқмас интеграл ҳақида гап борганда уни қаралаётган оралиқда мавжуд деб, яъни интеграл остидаги функция қаралаётган оралиқда бошланғич функцияга эга деб қараймиз ва оралиқни кўрсатиб ўтирмаймиз.
1) Ушбу

муносабат ўринли.
◄ Айтайлик, функция нинг бошланғич функцияси бўлсин:
.
У ҳолда,

бўлади. Бу тенгликка дифференциал амалини қўллаб топамиз.
►
Бу хосса аввал дифференциал белгиси , сўнгра интеграл белгиси келиб, улар ёнма-ён турганда ўзаро бир-бирини йўқотишини ифодалайди.
2) Ушбу

муносабат ўринли.
◄ Айтайлик, функция нинг бошланғич функцияси бўлсин:
.
У ҳолда,

бўлади. Айни пайтда,

бўлиб, бу тенгликлардан

бўлиши келиб чиқади. ►
Бу хосса аввал интеграл белгиси , сўнгра дифференциал белгиси келиб, улар ёнма-ён турганда ўзаро бир- бирини йўқотишини англатади ва га ўзгармас ни қўшиб қўйиш кераклигини кўрсатади.
3) Ушбу
(2)
тенглик ўринли бўлади.
◄ Айтайлик, ва функциялар мос равишда ва ларнинг бошланғич функциялари бўлсин
, .
У ҳолда
,
бўлиб,
(3)
бўлади.
Айни пайтда,

бўлганлиги сабабли
(4)
бўлади. (3) ва (4) муносабатлардан, улардаги , ва ларнинг ихтиёрий ўзгармас эканлигини эътиборга олиб топамиз:
.►
Бу хосса аниқмас интегралнинг аддитивлик хоссаси дейилади.
4) Ушбу
(5)
тенглик ўринли бўлади, бунда k ўзгармас сон ва k0.
Бу хосса юқоридаги 3)- хосса каби исботланади.
2-Эслатма. (2) ва (5) тенгликларни ўнг ва чап томонларидаги ифодалар орасидаги айирма ўзгармас сонга баробарлиги маъносидаги (ўзгармас сон аниқлигиги) тенглик-лар деб қаралади.
4-мисол. Ушбу

интеграл топилсин .
◄Аниқ интегралнинг 3)- ва 4)- хоссаларидан фойдалансак, унда

бўлиши келиб чиқади.
Энди

бўлишини эътиборга олиб топамиз:
.
Демак,
.►