16-mavzu. Ko’p o’zgaruvchili funksiya xususiy hosilalari. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. Reja

Misol. Ishlab chiqarish funktsiyasi Q = 20K^0,5L^0,5 uchun q = 100 d_a ikki o’zgaruvchili funksiya ^K = ^f (^L) izokvantini aniqlang?
Yechish. 20K“L = Q = 100 shunday qilib K⁰⁵L⁰⁵ = 5 K⁰⁵ = -^ har ikki tomonni
L
25
kvadratga ko’tarib izlanayotgan funksiyani topamiz K = — = 25L¹
Bo’lim 4.7 dan bilamiz K ning qiymati nolga yaqinlashganda L ning qiymati o’sadi va funksiya qavariq ko’rinishda bo’lib, egri chiziqni beradi.
Misol. Ishlab chiqarish funksiyasi uchun 20K⁰⁵l⁰⁵ = Q = 100 ikki o’zgaruvchili K = f ( l ) ko’rinishdagi funksiyani xosil qiling . Mos ishlab chiqarish 54 birlikkaga teng.
Yechish.
Q = 54 = 4,5K⁰⁴1?’¹ 12 = K^0A L^K1 12 L⁰¹ = K °,⁴
Ikkala tomonini 4.5- darajaga oshirib
12^2,5 L~¹’⁷⁵ = K
K = 498,83L^-1’⁷⁵
Bu funksiy xam koordinata boshiga qavariq egri chiziqni beradi. L ¹⁷⁵ b_o’lg_ani uchun L o’sgan sari K nolga yaqinlashadi.¹
Kobb - Duglas ishlab chiqarish funktsiyasi
Bu bo’limda ishlab chiqarish funksiyalari berilgan. Bu “Kobb-Duglas” funksiyalari deyiladi. Ikkita xom-ashyo K va L da ishlab chiqarish funksiyasi
Q = AK ^aL
bu yerda A, a va p - parametrlar. (a -yunoncha harf " alfa ", P- «Beta» deyiladi). Ko’p yillar oldin, ikki iqtisodchilar Cobb va Duglas bu ko’rinishdagi funksiyani aniqlashgan . Berilgan statistik ma’lumotlarga qarab Ishlab chiqarish va xom ashyo orasidagi bog’lanish o’rnatishgan. Iqtisodchilar ishlab chiqarish funksiyalarini yanada murakkab turlarini ishlab chiqgan bo’lsalar-da, Cobb - Duglas funksiyasi bu asosiy ishlab chiqarish funktsiyasi bo’lib, talablar, narxlar, ishlab chiqariash
darajasi, iste’mol bilan kompaniyaning munosabatlami tekshirishda boshlang’ich nuqta hisoblanadi .
Cobb - Duglas ishlab chiqarish funktsiyasi matematikaning bir jinsli funktsiyalari turkumiga kiradi. Umuman olganda, funksiya m darajali bir jinsli fimksiya deyiladi, agar у = f (x_],x₂,...,x_n) da yA^m = f{Ax_x, Ax₂,..., Ax_n) bo ’Isa, A musbat son (k - unon harfi " lyambda " dir). Birinchi tartibli bir jinsli ishlab chiqarish funksiyasi sifatida Q = 20K⁰⁵ L^0,5 _ni _oli_shi_mi_{z mum}ki_n
Cobb - Duglas funksiyasi ishlab chiqarish darajasi va xarajatlarning darajasi o’rtasidagi mavjud munosabatlarni aniqlaydi .
Faraz qilaylik, iste’molning dastlabki hajmlari K₁ vaL₁ bo’lsin , u holda ishlab chiqarish darajasi Q = 20 K⁰⁵ ь₀’1_асЦ
Agar hajmlar ikki barobar ko’paysa (ya’ni , k = 2 ) , yangi hajm quydagiga
teng
^K2 = ^2K1 , ^Z2 = ^{2 L}1
va bu ishlab chiqarishning yangi darajasini beradi
Q2 = 20Kf L°/ (1)
Buni boshlang’ich ishlab chiqarish darajasi bilan solishtirish mumkin , K₂ ning
^{o rniga 2K}_X ^va Z ning o’rniga ^2Zl qo’iyb solishtirsak
Q₂ = 20 ( 2 K )⁰’⁵ ( 2 Z )⁰’⁵ = 20 (2^0,5 K₁^0,52^0,5 Lf) = 2Q_X
Binobarin, iste’mol ikkilanganda ishlab chiqarish ikki barobarga ko’payadi , shuning uchun bu ishlab chiqarish funktsiyasi xarajatlarini doimiy bog’liqligini ko’rsatadi.
Cobb - Duglas ishlab chiqarish funktsiyasi indeks darajasi o’zgaruvchilar xarajatlari bilan oson aniqlanadi. Buni ikki xarajatlar funktsiyalari uchun ko’rsatish mumkin
Q₂ = AK ^aL^p
Agar biz xarajatlarni boshlang’ich miqdorini K₁ va Z₁ deb belgilasak, unda
Qi = AK?L^P.
Agar barcha xarajatlarni o’zgarmas k ga ko’paytirsak, yangi miqdorlar
K₂ = AK_X va L₂ = AL_X
bo’ladi.
U holda yangi ishlab chiqarish darajasi
Q₂ = AK₂L{ = A(AK)^a (AZ)^P = A^a+PAK*L^P = A^a+PQ
k, a va P -musbat sonlar , bu natija bizga a va p va uch toifa xarajatlari orasidagi o’zaro bog’liqlikni ko’rsatadi.

50. 
    Agar a + P = 1 bo’lsaA^a+P = A shuning uchun Q₂ = AQ_l, yani masshtab kattaligiga nisbatan o’zgarmas.
    

2. 
   Agar a + в > 1 bo’lsa Л^а+Р > Л, shuning uchun Q₂ > XQ_x va masshtab kattaligiga nisbatan o’suvchi.
   
3. 
   Agar a + в < 1 bo’lsa Л^а+Р < Л bo’lsa Q₂ <Л<2_г va masshtab kattaligiga nisbatan kamayuvchi .
   

Misol. Quydagi ishlab chiqarish funksiyasi qaysi turdagi bog’liqlikni aniqlaydi Q = 45K^0,4L^0,4 ?
Yechish. Indekslarni qo’shsak 0,4 + 0,4 = 0,8. Shunday qilib daraja 1 dan kam, shuning uchun kamayuvchi bog’liqlik.
Cobb-Duglas ishlab chiqarish funksiyasi parametrlarini baxolash uchun bu funksiyani logarifmlash kerak . Standard chiziqli regresiyon tahlil qilish usuli ( buni siz statistika modulida o’qishingiz kerak bo’lgan) berilgan p va q lar yordamidaa chiziqli funksiya p = a + bq ning a va b parametrlarini baholashda yordam beradi.
Agar funksiya chiziqli bo’lmasa, chiziqli ko’rinishga olib kelish uchun ifodani logarifmlab, parametrlarni baxolashda chiziqli regressiya tahlilidan foydalanamiz. Misol uchun, Cobb-Douglas slab chiqarish funksiyasiQ = AK^aL ni logariflab
log Q = log A + a log K + b log L
ko’rinishga olib kelamiz.
Iqtisodiyot kursida byudjet cheklashlar , ishlab chiqarish funksiyalari va izokvant kartasidan foydalanib, kompaniya uchun eng ma’qul usullarni topamiz. Bu tushunchalarga 8 va 11 bo’limda qaytamiz. Optimal masalalarni xisoblashda matematik yechimlardan foydalanamiz.²
X = {0₁₃x₂,...,x_n): x₁ g A₁,x₂ g А₂,...x_n g A_n}, A_i c R, i = 1,n va Y cR to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
Ta'rif. Agar biror f - qoida va qonunga ko'ra X to'plamning har bir (.y,x₂x_n) elementiga Y toplamning aniq bir y qiymati mos qo'yilsa, ko‘p o'zgaruvchili (n-oZgaruvchili) y = f (x,x₂x_n) funksiya berilgan deyiladi.
Masalan, /(x,у) = x² + у² - ikki o'zgaruvchili, /(Xj x₂..., x_n)=xf + x₂² +... + x²_n
esa n o‘zgaruvchili funksiyaga misol bo‘ladi.
X to‘plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va D(f) kabi, Y to‘plam esa qiymatlari yoki o’zgarish sohasi deyiladi va Ef) kabi belgilanadi.
1 misol. Z = JR² - xj² - x2 Bu funksiyaning aniqlanish sohasi D(z)={_sx₁;x₂):xj² + x2 ²}to‘plamdan iborat.
Bu to‘plam markazi koordinata boshida, radiusi R (R > o) bo‘lgan doiradir.
Iqtisodda uchraydigan asosiy tushunchalardan biri, bu foydalilik funksiyasidir. Ko‘p o‘zgaruvchili foydalilik funksiyasiga misol tariqasida
n
quyidagini funksiyani keltirish mumkin: Z = ^ a,tn(у - с), bu yerda
/=1
a > 0 va у > c > 0. Funksiyaning aniqlanish sohasi D (Z) = {x: у > c, i = 1, n} to’plamdan iborat. Bu funksiya o‘zgarmas egiluvchanlik funksiyasi deyiladi.
Z = bXxb . Bu funksiya Kobba-Duglas funksiyasi deyiladi. Bu yerdax₁ - mehnat xarajatlari, x₂ - ishlab chiqarish fondlari hajmini bildiruvchi
o‘zgaruvchilardir.
b, b ^ea b ishlab chiqarish texnologiyasi orqali aniqlanadigan parametrlardir.
Z = a₀ a x/ + a₂ x₂ ^p ) p . Bu funksiya almashtirishning o‘zgarmas egiluvchanlik funksiyasi deyiladi.
x = (x_x,x₂,...,x_n)gRⁿ va y = (y_x,y₂,...,y_n)gRⁿ bo‘lsin. Bu nuqtalar orasidagi masofa d(x, y) deb quyidagi tenglik orqali aniqlangan songa aytilishini eslatib o‘tamiz.
^d(xy) = V^(x 1 ^-У1 )² +^(x2 ^-У2)² + - + ^(xn-y_n)² Ta’rif. Markazi x = (x₁₃x₂,...,x_n) nuqtada, radiusi R >0 ga teng ochiq shar -S(x, r) deb, quyidagi to ‘plamga aytiladi.