17-ma’ruza: Amaliy matematika fani va uning vazifalari. Nisbiy va absolyut xatoliklar. Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Amaliy matematika fani va uning vazifalari. Xatoliklarning kelib chiqish manbalari
Download 260.82 Kb. Pdf ko'rish
|
17-maruza
- Bu sahifa navigatsiya:
- Amaliy matematika fani va uning vazifalari. Xatoliklarning kelib chiqish manbalari. Nisbiy va absolyut xatoliklar. Algebraik va transsendent
- Nisbiy va absolyut xatoliklar
- Misol.
- Taqribiy sonlar ustida amallar
- Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari
- Ildizlarni ajratish
- Oraliqni ikkiga boʻlish usuli
|
162
xatoliklar. Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Amaliy matematika fani va uning vazifalari. Xatoliklarning kelib chiqish manbalari. Nisbiy va absolyut xatoliklar. Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari (oraliqni teng ikkiga bo`lish, urinmalar va vatarlar) Reja 1. Amaliy matematika fani va uning vazifalari. 2. Xatoliklarni kelib chiqish manbalari. 3. Nisbiy va absolyut xatoliklar. 4. Algebraik va trassident tenglamalarni taqribiy yechish usullari (oraliqni teng ikkiga boʻlish, urunmalar va vatarlar usuli).. Nisbiy va absolyut xatoliklar
Aniq sonlar biror kattalikning aniq qiymatini ifodalaydi. Taqribiy sonlar esa, biror kattalining aniq qiymatiga juda yaqin boʻlgan sonni ifodalaydi.
moduliga aytiladi.
Absolyut xatolikni ∆ deb belgilasak, u holda
∆|𝐴𝐴 − 𝑎𝑎|
(1)
Ta’rif.Taqribiy son “a” ning nisbiy xatoligi 𝛿𝛿 (𝑎𝑎) deb, absolyut xatolik ∆a ni, “A” ni moduliga nisbatiga aytiladi. 𝛿𝛿(𝑎𝑎) =
∆𝑎𝑎 |𝐴𝐴|
∙ 100%,𝛿𝛿(𝑎𝑎) = ∆𝑎𝑎
|𝑎𝑎| (2)
Misol. 𝑎𝑎 = 35,148 ± 0,00074 taqribiy sonning nisbiy xatoligi (foizlarda) topilsin.
∆a = 0,00074; A=35,148. U holda 𝛿𝛿(𝑎𝑎) =
0,00074 35,148 = 0,000022 ≈ 0,003%
Agarda nisbiy zatolik berilgan boʻlsa u holda absolyut xatolik quyidagicha topiladi: ∆𝑎𝑎 =
𝛿𝛿(𝑎𝑎) ∙ |𝐴𝐴| 100%
Misol. 300 gr. miqdordagi paxta namunasi tortildi. Agarda tarozining nisbiy xatoligi 𝛿𝛿(𝑎𝑎) = 5% boʻlsa uning absolyut xatoligini toping.
𝛿𝛿(𝑎𝑎) = 5%, a=300 gr formuladan ∆𝑎𝑎 = 𝛿𝛿(𝑎𝑎) ∙ |𝑎𝑎| 100% = 5% ∙ 300
100% = 15, 𝐴𝐴 = 300 ± 15 𝑡𝑡𝑎𝑎.
Taqribiy sonlarni qoʻshganda yoki ayirganda ularning absolyut xatoliklari qoʻshiladi ∆(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) = ∆𝑎𝑎 + ∆(𝑏𝑏) Bu yyerda “a” va “b” - taqribiy sonlar. Taqribiy sonni taqribiy songa boʻlganda yoki koʻpaytirganda ularning nisbiy xatoliklari qoʻshiladi 163
𝛿𝛿(𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏) = 𝛿𝛿(𝑎𝑎) + 𝛿𝛿(𝑏𝑏 𝛿𝛿 � 𝑎𝑎 𝑏𝑏� = 𝛿𝛿 (𝑎𝑎) + 𝛿𝛿(𝑏𝑏) Taqribiy sonni darajaga oshirilganda, uning nisbiy xatoligi daraja koʻrsatkichga koʻpaytiriladi: 𝛿𝛿(𝑎𝑎
𝑛𝑛 ) = 𝑛𝑛𝛿𝛿(𝑎𝑎) Misol. 𝒚𝒚 = �
𝒂𝒂+𝒃𝒃 𝒙𝒙 𝟑𝟑 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ifodaning nisbiy xatoligini toping. 𝜹𝜹(𝒚𝒚) =
𝟏𝟏 𝟐𝟐 (𝜹𝜹(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃) + 𝟑𝟑𝜹𝜹(𝒙𝒙)) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �
∆𝒂𝒂 + ∆𝒃𝒃 |𝒂𝒂 + 𝒃𝒃| + 𝟑𝟑 ∆𝒙𝒙 |𝒙𝒙|� ∙
Amaliyotda, ya’ni toʻqimachilik, yengil va paxta sanoati muammolari boʻyicha olib borilayotgan ilmiy izlanishlarda: Agarda nisbiy xatolik 𝛿𝛿(𝑎𝑎) ≤ 2% boʻlsa, u holda bu aniqlangan qiymat yuqori aniqlikda topilgan, Agar 2% ≤ 𝛿𝛿(𝑎𝑎) ≤ 5% boʻlsa oʻrta aniqlikda topilgan, Agar 5% ≤ 𝛿𝛿(𝑎𝑎) ≤ 10% boʻlsa past aniqlikda topilgan deb hisoblanadi. Funksiya xatoligi:Faraz qilaylik. “a ” bir oʻzgaruvchili funksiya 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ning argumenti “x ” ning taqribiy qiymati boʻlsin. ∆a – esa uning absolyut xatoligi. Bu funksiyaning absolyut xatoligi tarzida uning ortirmasi ∆y ni olish mumkin. Orttirmani esa differesial bilan almashtirsak ∆𝑦𝑦 ≈ 𝑢𝑢𝑦𝑦 U holda ∆𝑦𝑦 = |𝑓𝑓′(𝑎𝑎)| ∙ ∆𝑎𝑎 Ushbu mulOx azani koʻp oʻzgaruvchili funksiyaga ham qoʻllash mumkin. 𝑈𝑈 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦. 𝑧𝑧) funksiyasining argumentlari x,y,z lar uchun taqribiy qiymatlar
lar boʻlsin.
U holda ∆𝑢𝑢 = �𝑓𝑓 𝑥𝑥
(𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑎𝑎)� ∙ ∆𝑎𝑎 + �𝑓𝑓 𝑦𝑦
(𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑎𝑎)� ∙ ∆𝑏𝑏 + �𝑓𝑓 𝑧𝑧
(𝑎𝑎. 𝑏𝑏. 𝑎𝑎)� ∙ ∆𝑎𝑎 (7) Bu yyerda - argumentlar absolyut xatoligi, - mos ravishda x,y,z boʻyicha olingan xususiy hosilalar. Nisbiy xatolik esa quyidagi formuladan aniqlanadi:
Misol.Qaysi tenglik aniqroq.
Yechish. Berilgan sonning ko`proq kasr qismini topamiz: So`ng ularning absoliyut hatoliklarini ortig`I bilan topamiz : .
Nisbiy xatoligi: c b a ∆ ∆ ∆ , , ' ' ' , ,
y x f f f ( ) c b a f u u , , ) ( ∆ = δ 24 , 4 18 ; 818
, 0 11 9 = = = =
A ...
2426 , 4 18 ...;
81818 , 0 11 9 = = = = b a 0027
, 0 24 , 4 2426 , 4 ; 00019 , 0 818 , 0 81818 , 0 ≤ − = ≤ − = ∆ b a 164
bo`lganligi uchun tenglik aniqroq.
Bir noma’lumli istalgan tenglamani quyidagi koʻrinishiga keltirish mumkin.
bu yyerdaf(x) funksiya oraliq uzluksiz.
ξ”(a ≤ξ≤ b) soniga aytiladiki, “ ξ ” ni (1) ga qoʻyganda ayniyat hosil boʻladi f ( ξ
Agar (1) da f(x) funksiya algebraik boʻlsa, ya’ni
(2) u holda (1) ga algebraik tenglama deyiladi.
Agar (1) tenglamada f(x) funksiya algebraik boʻlmasa, ya’ni uni (2) koʻrinshda ifodalab boʻlmasa, u holda (1) ga transsendent tenglama deyiladi. Transsendent tenglamalarga misollar: va x.k. Ildizlarni ajratish Tenglamalrni taqribiy yechish jarayoni ikki bosqichda amalga oshiriladi. 1) ildizlarni ajratish 2) ildizlarni berilgan aniqlikda topish.
kesmada f(x)=0 tenglamaning ildizi “ ξ ” dan boshqa ildizi yoʻq boʻlsa, ildiz “ ξ” ajratilgan hisoblanadi. Ildizlarni ajratish deganda, shunday kesmani topishga aytiladiki, bu yyerda tenglamani faqat bitta ildizi boʻladi. Ildizlarni grafik ba analitik usullari bilan ajratish mumkin.
Ildizlarni grafik usulda ajratish uchun f(x)=0 tenglamani f 1 (x)=f 2 (x) koʻrinishda yozib olamiz.
Dekard koordinat sistemasida f 1 (x) va f 2 (x) funksiyalarni grafiklarini chizamiz. Agar bu egri chiziqlar oʻzaro kesishsa, kesishgan nuqtalardan 0x oʻqiga perpendekulyar oʻtkazamiz. Hosil boʻlgan nuqtalar (yoki nuqta) yechimlar boʻladi.
Ildizlarni analitik usulda ajratish uchun quyidagi teoremadan foydalaniladi. Teorema. Agar f(x) funksiya
kesmada uzluksiz boʻlib kesmaning chekka nuqtalarida turli ishorali qiymatlar qabul qilib, kesmaning ichida f(x) funksiyaning hosilasi oʻz ishorasini oʻzgartirmasa , u holda kesmada f(x)=0 tenglamaning faqat bitta yechimi yotadi.
Faraz qilaylik f(x)=0 tenglamaning biror ildizi “ ξ”
Kesmaning uzunligini d=b-a deb begilaylik. Tenglamaning yechimi ε
topilsin. % 064 , 0 % 100 24 , 4 0027
, 0 % 100 ) ( % 024
, 0 % 100 818
, 0 00019 , 0 % 100 ) ( = ⋅ = ⋅ ∆ = = ⋅ = ⋅ ∆ = B b b A a a δ δ ) ( ) ( b a δ δ < 818
, 0 11 9 = =
0 )
= x f { }
b a, 0 x .... ) ( 1 1 1 0 = + + + + = − − n n n n a a x a x a x f 10 ) 1 lg(
, 5 , 0 cos
2 3 , 0 sin
− = + = − = − tgx x x x x { }
b a, { }
b a, { }
b a, { }
b a, { }
b a, { }
b a, 165
Ildiz “e”
ni ichida boʻlganligi uchun, “a” ni kami bilan olingan taqribiy ildiz, “b” ga ortig’i bilan olingan taqribiy ildiz deb olishimiz mumkin. Agar d ≤0,001
boʻlsa masala yechilgan hisoblanadi “a” va “b” lar f(x)=0 tenglamaning berilgan ε =0,001 aniqlikdagi yechimlari boʻladi. Bu holda taqribiy yechim sifatida “a” va “b” lardan tashqari bular orasida yotgan istalgan “x 0 ” ni olish mimkin. Taqribiy yechim sifatida
ni olish maqsadga muvofiq. Endi faraz qilaylik d>0,001 boʻlsin (a,b) kesmani oʻrtasida nuqtani olaylik. U holda (a,b) kesma (a,c) va (c,b) kesm,alarga ajraladi.
Shu ikki kesmani qaysi birini chekka nuqtalarida f(x) funksiya ishorasini oʻzgartirsa, shu kesmani olib qolib, keyingisini tashlab yuboramiz. Qolgan kesmaning uzunligi d 1 ≤ε
ikkiga boʻlishlar soni) boʻlganliga qadar davom ettiramiz.
Misol. Quyidagi algebraic tenglamani aniqlikda bitta yechimini taqribiy hisoblang.
Yechish. Tenglamani yechimi 2 bosqichda topiladi. 1) Ildizini ajratish. Uning uchun jadval usulidan foydalanamiz. Funksiyanig oraliqlardagi ishoralarini tekshiramiz: X -3
-2 -1
-0,5 0 1 2 Y - + + - - + + Jadvaldanko`rinibturibdiki, funksiyao`zishorasini oraliqdao`zgartiradi.
Tenglamani ildizini grafik usulda ajratish uchun, uni ko`rinishda yozib olib funksiyalarning grafigini chizamiz. Ularni kesishish nuqtasini abssissasini topsak, ildiz xaqiqatan ham bu oraliqlarda yotganini topamiz.
2)Tenglamaning yechimini taqribiy aniqlash uchun oraliqni ikkiga bo`lish usulidan foydalanamiz.
Tenglamani oraliqdagi yechimini topamiz. Formulaga asosan kesmani ikkiga bo`luvchi nuqtaning koordinatasini topib olamiz:
kesmani ikkiga bo`lib olamiz .
Funksiyani nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:
1-yaqinlashish oralig`ini topamiz. oraliqda nuqtalarda ishora har xil bo`lganigi uchun shu oraliqni yana ikkiga bo`lamiz:
{ }
b a, 2
a c + = 0 1 3 2 = − + x x 01 , 0 = ε { } {
} { } 1 ; 0 5 , 0 ; 1 , 2 ; 3 va − − − −
x 3 1 2 − = x y va x y 3 1 2 − = = [ ]
1 ; 0 5 , 0 2 1 0 2 0 = + = + = b a x [ ]
1 ; 0 [ ] [
] 1 ; 5 , 0 5 , 0 ; 0 ∪ ∈ x 5 , 0 0 = x 75 , 0 1 5 , 1 25 , 0 1 5 , 0 3 5 , 0 1 3 ) ( 2 2 = − + = − ⋅ + = − + = x x x f [ ] 5 , 0 ; 0 25 , 0 2 0 5 , 0 1 = + =
2 0
a x + = 166
Endi kesmani ikkiga bo`lib olamiz .
Funksiyani nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:
2-yaqinlashish oralig`ini topamiz. oraliqda nuqtalarda ishora har xil bo`lganigi uchun shu oraliqni yana ikkiga bo`lamiz:
Endi
kesmani ikkiga bo`lib olamiz .
Funksiyani nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:
3-yaqinlashish oralig`ini topamiz. oraliqda nuqtalarda ishora har Xil bo`lganigi uchun shu oraliqni yana ikkiga bo`lamiz:
Endi
kesmani ikkiga bo`lib olamiz .
Funksiyani nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:
4-yaqinlashish oralig`ini topamiz. oraliqda nuqtalarda ishora har Xil bo`lganigi uchun shu oraliqni yana ikkiga bo`lamiz:
Endi
kesmani ikkiga bo`lib olamiz . Funksiyani nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:
5-yaqinlashish oralig`ini topamiz. oraliqda nuqtalarda ishora har Xil bo`lganigi uchun shu oraliqni yana ikkiga bo`lamiz:
Endi
kesmani ikkiga bo`lib olamiz .
Funksiyani nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:
6-yaqinlashish oralig`ini topamiz. oraliqda nuqtalarda ishora har Xil bo`lganigi uchun shu oraliqni yana ikkiga bo`lamiz:
aniqlikda yechimini topish uchun Shartni tekshiramiz:
aniqlikdagi yechimi: . [ ] 5 , 0 ; 0 [ ] [
] 5 , 0 ; 25 , 0 25 , 0 ; 0 ∪ ∈ x 25 , 0 0 = x 375
, 0 1 75 , 0 625 , 0 1 25 , 0 3 25 , 0 1 3 ) ( 2 2 = − + = − ⋅ + = − + = x x x f [ ] 25 , 0 ; 0 125 , 0 2 0 25 , 0 2 = + =
[ ]
, 0 ; 0 [ ] [ ] 25 , 0 ; 125 , 0 125 , 0 ; 0 ∪ ∈ x 125
, 0 0 = x 619375
, 0 1 375 , 0 015625 , 0 1 125
, 0 3 125 , 0 1 3 ) ( 2 2 − = − + = − ⋅ + = − + = x x x f [ ] 25 , 0 ; 125
, 0 1875 , 0 2 25 , 0 125 , 0 3 = + = x [ ] 25 , 0 ; 125
, 0 [ ] [ ] 25 , 0 ; 1875 , 0 1875 , 0 ; 125
, 0 ∪ ∈ x 1875
, 0 0 = x 4025
, 0 1 5625 , 0 035 , 0 1 1875
, 0 3 1875 , 0 1 3 ) ( 2 2 − = − + = − ⋅ + = − + = x x x f [ ] 25 , 0 ; 1875
, 0 2185 , 0 2 25 , 0 1875 , 0 4 = + = x [ ] 25 , 0 ; 1875
, 0 [ ] [ ] 25 , 0 ; 2185 , 0 2185 , 0 ; 1875
, 0 ∪ ∈ x 2185
, 0 0 = x 29654
, 0 1 6555 , 0 04796 , 0 1 2185
, 0 3 2185 , 0 1 3 ) ( 2 2 − = − + = − ⋅ + = − + = x x x f [ ] 25 , 0 ; 2185
, 0 23425 , 0 2 25 , 0 2185 , 0 5 = + = x [ ] 25 , 0 ; 2185
, 0 [ ] [ ] 25 , 0 ; 23425 , 0 23425 , 0 ; 2185
, 0 ∪ ∈ x 23425
, 0 0 = x 24225
, 0 1 70275 , 0 055 , 0 1 23425
, 0 3 23425 , 0 1 3 ) ( 2 2 − = − + = − ⋅ + = − + = x x x f [ ] 25 , 0 ; 2185
, 0 2421 , 0 2 25 , 0 23425 , 0 6 = + = x ε ε ≤ − + n n x x 1 ε ≤ − 23425
, 0 2421 , 0 01 , 0 = ε 2421
, 0
x Document Outline
Download 260.82 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|