18-ma’ruza. Fure qatori va uning tadbiqlari. Reja: Фурье қатори ва унинг тадбиқлари

Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va intervali.

(18.4) – darajali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

qatorni qaraymiz. Dalamber alomati bilan bu qatorni yaqinlashishiga tekshiramiz.


mavjud bo’lsin.

Unda (18.4) qator

1) da yaqinlashuvchi.
2) da uzoqlashuvchi.
Demak (18.1) darajali qator intervalda yaqinlashuvchi
(18.4) darajali qatorning yaqinlashish radiusi.


interval esa yaqinlashish intervali deyiladi.

Eslatma: 1) agar unda (18.4) qator bitta nuqtadan tashqari barcha nuqtalarda uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.

2) Agar ,unda barcha x larda (18.4) qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi, ya’ni bu holda absolyut yaqinlashish intervali bo’ladi.

3) (18.5) umumlashgan darajali qator berilgan bo’lsin . Bu qatorning yaqinlashish intervali

4)

Absolyut yaqinlashuvchi darajali qatorlarning xossalari.
1) Agar darajali qator da yaqinlashsa u holda bu intervalning hamma nuqtalarida qator yig’indisi uzluksiz funktsiyalardir.
2) YAqinlashish intervalining barcha ichki nuqtalarida darajali qatorni hadma-had differentsiallash mumkin.
3) Darajali qatorni ixtiyoriy da hadma- had integrallash mumkin.

Misol: (Bermandan 2880)

Teylor va Makloren qatorlari. Teylor va Makloren qatorlarini tadbiqi –ba’zi el-r funktsiyalarni Makloren qatoriga yoyish.


Teylor va Makloren qatorlari.


funktsiya a nuqtada va uning biror atrofida uzluksiz va a nuqtada istalgan tartibda xosilaga ega bo’lsin.
Ushbu masalani qo’yamiz: funktsiyani darajali qator ko’rinishida tasvirlash mumkin va hamma vaqt hosil bo’lgan darajali qator berilgan ni darajali qator ko’rinishda tasvirlash mumkin , ya’ni
(18.6)
endi funktsiyaning darajali qator koeffitsientlari bilan qanday bog’langanligini topamiz. (18.6) da deb ekanligini topamiz. Faraz qilaylik funktsiyani yaqinlashish intervali a nuqtaning biror atrofida bo’lsin, u holda qatordan bu atrofda hadma- had hosila olish mumkin, ya’ni:


(18.7)
(18.7) da desak bo’ladi.


(18.8)

(18.8) da desak

(18.9)
(18.9) da desak va hakazo
(18.20) Teyler koeffitsienti .

(18.20) Teyler koeffitsientlarini (18.6) ga qo’yamiz.

.
(18.10)

(18.10) formula funktsiyani a nuqtaning atrofidagi Teyler qatori deyiladi.

Teyler qatorining qoldiq hadi:

Teorema: (Teyler teoremasi)
funktsiyani ning darajasi bo’yicha darajali qatorga yoyish uchun funktsiya a nuqtada aniqlangan va bu nuqtada n tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lishi va

bo’lishi zarur va etarlidir.
(18.10) qatorning aniqlanish sohasidagi uchun qatorning yig’indisi funktsiyaning bu nuqtadagi qiymatiga teng va bu yoyilma yagonadir.
Teyler qatorining xususiy holi Makloren qatoridir. Agar (18.10) yoyilmada bo’lsa (18.10) dan, Makloren qatori deb ataluvchi qatorga ega bo’lamiz.
(18.11)
Ba’zi el-r funktsiyalarini Makloren qatoriga yoyish.

1)

2) yaqinlashuvchi

3 uchun binominal qator.

4) da m=-1 desak
5)
5) da x ni o’rniga – x qo’ysak.
6)
5) da x ni o’rniga qo’ysak.
7)
5) ni oraliqda 0 dan x gacha integrallaymiz. CHunki darajali qatorni butunlay absolyut yaqinlashish sohasi tegishli interval bo’yicha integrallash mumkin.

8)
6) ni integrallab:
9)
8) -9) dan
10)
7) ni da integrallab:
11)