18-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integral tushunchasi. Ikki oʻlchovli integralning xossalari. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchanligi. Takroriy integrallar

18-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integral tushunchasi. Ikki oʻlchovli integralning xossalari. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchanligi. Takroriy integrallar

1. Ikki karrali integral tushunchasiga olib keladigan masalalar.
a) silindrik g‘o‘laning hajmi haqidagi masala.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi to‘g‘risidagi masala aniq integral tushunchasini kiritishga keltirilgani singari silindrik g‘o‘laning hajmi haqidagi masala bizni yangi tushunchaga-ikki karrali integral tushunchasiga olib keladi.
Yuqoridan sirt (bu yerda funksiya D sohada uzluksiz va ) quyidan kvadratlanuvchi yopiq D soha va yon tomonlaridan yo‘naltiruvchisi D sohaning chegarasi yopiq chiziqdan va yasovchilari o‘qqa parallel bo‘lgan jismni qaraylik (1-rasm)



1-rasm
Yopiq D sohani n ta kvadratlanuvchi sohalarga ajratamiz (oddiy yopiq konturlar yordamida). Ularning yuzalarini mos ravishda orqali belgilaylik. Har bir bo‘lakchadan bittadan nuqtalarni tanlab olib, ushbu ko‘paytmalarni tuzamiz:

Har bir ko‘paytma asosi balandligi bo‘lgan to‘g‘ri silindrning hajmini ifodalaydi. yig‘indi esa shunday figuralardan tuzilgan “pag‘onali jism”ning hajmini ifodalaydi.
deb olaylik. nolga intilganda (shu bilan birga ) yuqoridagi yig‘indining limiti silindrik g‘o‘laning hajmini ifodalaydi, ya’ni
b) tekis moddiy figuraning massasi haqidagi masala.
Tekis moddiy D figurani qaraymiz. Geometrik jihatdan D figurani chegaralangan yopiq soha deb hisoblaymiz. Bu figuraning massasini hisoblash masalasini qaraymiz. Agar figura bir jinsli bo‘lib, uning zichligi , yuzasi S bo‘lsa, u holda uning massasi formula bo‘yicha hisoblanadi.
Faraz qilaylik, figura bir jinsli bo‘lmasin. Plastinkaning har bir nuqtasidagi zichligi bo‘lsin. D figurani o‘zaro umumiy ichki nuqtalarga ega bo‘lmagan yuzalari bo‘lgan n ta kvadratlanuvchi bo‘lakchalarga bo‘lamiz. Har bir bo‘lakchadan bittadan nuqta tanlab olamiz. bo‘lakchaning massasi taqriban ga teng, yig‘indi taqriban plastinkaning massasiga teng.
deb olaylik. D figuraning massasi deb sonni qabul qilamiz.