18-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integral tushunchasi. Ikki oʻlchovli integralning xossalari. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchanligi. Takroriy integrallar

4. Uzluksiz funksiyalarni integrallanuvchanligi
Bu yerda integrallanuvchi funksiyalar sinfidan faqat uzluksiz funksiyalar sinfini qaraymiz.
1-Teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq D sohada uzluksiz bo‘lsa, u D sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik funksiya D sohada uzluksiz, m va M sonlar uning D sohadagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo‘lsin. D sohani sodda sohalarga ajratamiz. funksiya bo‘lakchalarning har birida uzluksiz bo‘ladi va larda eng kichik va eng katta qiymatlarga ega. Ularni va orqali belgilaylik.
Quyidagicha yig‘indilar tuzaylik: va . Bu yig‘indilar mos ravishda quyi va yuqori integral yig‘indilar deyiladi.
s va S yig‘indilar quyidagi xossalarga ega:
1º. D sohaning har bir bo‘linishi uchun tengsizlik o‘rinli.
2º. D sohaning bo‘linish chiziqlari qatoriga yangi bo‘linish chiziqlari (nol o‘lchovli) qo‘shish bilan yangi bo‘linish hosil qilinganda quyi yig‘indi kamaymaydi, yuqori yig‘indi ortmaydi.
3º. D sohaning ixtiyoriy bo‘linishiga mos kelgan yuqori yig‘indi uning har bir bo‘linishiga mos kelgan quyi yig‘indidan kichik emas. Ya’ni, D sohani biror bo‘linishiga mos kelgan yig‘indilar va , boshqa bo‘linishga mos kelgan yig‘indilarni va desak, u holda bo‘ladi.
4º. funksiyaning D sohadagi barcha yuqori yig‘indilari to‘plami aniq quyi chegaraga ega, uni I deb olsak, u holda ixtiyoriy s va S yig‘indilar uchun tengsizlik o‘rinli.
Bu xossalarning isboti aniq integraldagi kabi isbotlanadi (o‘quvchi mustaqil tekshirib ko‘rishi mumkin).
Teoremaning isbotini davom ettiramiz. funksiya chegaralangan yopiq D sohada uzluksiz bo‘lgani uchun u shu sohada tekis uzluksiz bo‘ladi. Ixtiyoriy uchun shunday son topilib, ixtiyoriy va nuqtalar orasidagi masofa dan kichik bo‘lganda
(1)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda Q son D sohaning yuzasi.
D sohani har birining diametri dan kichik bo‘ladigan bo‘lakchalarga bo‘lamiz. U holda (1) ga binoan tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bundan ixtiyoriy s va S yig‘indilar uchun ga ega bo‘lamiz.
Yuqorida sanab o‘tilgan xossalarga binoan va ixtiyoriy integral yig‘indi uchun (mos bo‘linish uchun) tengsizlik o‘rinli. Bu tengsizliklarni taqqoslab, tengsizlikni hosil qilamiz. bo‘lganligidan tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bundan ta’rifga binoan funksiyani D sohada integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi.