18-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integral tushunchasi. Ikki oʻlchovli integralning xossalari. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchanligi. Takroriy integrallar

2. Ikki karrali integral tushunchasi.
Biror yopiq kvadratlanuvchi D sohada aniqlangan va chegaralangan funksiya berilgan bo‘lsin. D sohani o‘zaro umumiy ichki nuqtaga ega bo‘lmagan kvadratlanuvchi bo‘lakchalarga ajratamiz. Ularning yuzalari mos ravishda bo‘lsin. Har bir bo‘lakchadan ixtiyoriy ravishda bittadan nuqta olib, ushbu yig‘indini tuzamiz. Bu ko‘rinishdagi ixtiyoriy yig‘indini funksiyaning D soha bo‘yicha tuzilgan integral yig‘indisi deyiladi.
Bo‘lish usuli yoki tanlab olingan nuqta o‘zgarishi bilan yig‘indi o‘zgarishi mumkin. Bunday yig‘indilarni cheksiz ko‘p usul bilan tuzish mumkin.
deb olaylik.
Ta’rif. Agar da limit mavjud bo‘lib, u D sohani bo‘laklarga bo‘lish usuliga, bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bo‘g‘liq bo‘lmasa, bu limit funksiyaning D soha bo‘yicha olingan ikki karrali integrali deyiladi va ko‘rinishda yoziladi. Bu holda funksiya D sohada integrallanuvchi funksiya deyiladi.
Yuqoridagi masalalarga qaraydigan bo‘lsak silindrik g‘o‘laning hajmi ga teng. Agar D sohada bo‘lsa, u holda (S-D sohaning yuzasi). Demak, D sohaning yuzasi ga teng. Xuddi shunga o‘xshash moddiy figuraning massasi formula yordamida hisoblanadi.
3. Ikki karrali integralning xossalari
Ikki karrali integral aniq integral xossalariga o‘xshash ba’zi xossalarga ega. Ularning isbotlari aniq integral xossalarining isbotlariga o‘xshash. Shu sababli ularni isbotlab o‘tirmaymiz.
1º. Agar funksiya D sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas C uchun funksiya ham D sohada integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.
2º. Agar funksiyalarning har biri D sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiyalarning har biri D sohada integrallanuvchi bo‘lib,

tenglik o‘rinli.
3º. Agar va funksiyalar D sohada integrallanuvchi bo‘lib, tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda tengsizlik o‘rinli.
4º. Agar D sohada funksiya integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham integrallanuvchi bo‘lib, tengsizlik o‘rinli.
5º. Agar funksiya yuzasi S bo‘lgan bog‘lamli D sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday nuqta topilib, tenglik o‘rinli.
6º. Agar D soha biror oddiy chiziq yordamida umumiy ichki nuqtalarga ega bo‘lmagan va sohalarga ajratilgan bo‘lib, funksiya va sohalarni har birida integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya D sohada integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.