18-mavzu. Erkli sinovlar ketma-ketligi va Bernulli sxemasi Bernulli formulasi

Laplasning lokal teoremasi
Faraz qilaylik, marta erkli sinashlar o’tkazilgan bo’lib, har bir sinashda hodisani ro’y berish ehtimoli o’zgarmas bo’lsin. Biz - marta sinashda hodisani marta ro’y berish ehtimolini Bernulli formulasi bilan hisobladik. Agar katta son bo’lsa, masalan , , u holda

Ehtimolni hisoblash juda katta hisoblashlarga olib keladi. Shuning uchun bunday hollarda Laplasni lokal teoremasidan foydalaniladi.
Teorema. Agar har bir sanashda hodisaning ro’y berish ehtimoli o’zgarmas bo’lib, nol va birdan farqli bo’lsa, u holda - ehtimol taxminan quyidagi funksiyaga teng bo’ladi:

Bu yerda - juft funksiya bo’lib, uning qiymatlarini kitobning oxiridagi 1-ilovadan topamiz.
Misol. Malakali ustaning a’lo sifatli mahsulot ishlab chiqarish ehtimoli ga teng bo’lsa, ta ishlab chiqarilgan mahsulotlardan tasini a’lo sifatli bo’lish ehtimoli topilsin.
Yechish. Shartga asosan bundan:

1-ilovadan ni topamiz:
.
Bulardan:

Laplasning integral teoremasi
Agar har bir sinashda hodisani ro’y berish ehtimoli o’zgarmas bo’lsa - marta sinashda hodisani bilan oralig’ida ro’y berish ehtimolini hisoblash talab qilingan bo’lsin. Bu ehtimolni qo’yidagicha hisoblash mumkin:

Demak bunda ta ehtimolni yig’indisi qatnashadi va bu esa juda ko’p hisoblashga olib keladi. Shuning uchun bunday hollarda Laplasni integral teoremasidan foydalaniladi.
Teorema: Agar har bir sinashda hodisaning ro’y berish ehtimoli o’zgarmas bo’lib, nol va birdan farqli bo’lsa, - marta sinashda hodisani bilan oralig’ida ro’y berish ehtimoli quyidagi aniq integralga teng bo’ladi

bu yerda

Bu integralga o’zgartirish kiritamiz:
(*)
Quyidagi Laplas funksiyasini qaraymiz.

bu funksiya toq funksiya bo’lib bo’lganda qiymatlari kitobni oxiridagi 2-ilovadan topiladi. bo’lganda esa bo’ladi. Endi bu funksiya bilan (*) tenglikdagi integralni solishtirib qo’yidagi formulalarga ega bo’lamiz:

bu yerda

Bu formuladan misol ishlashda foydalaniladi.
Misol. Agar har bir ishlab chiqarilgan mahsulotni sifatli bo’lish ehtimoli ga teng bo’lsa, ta ishlab chiqarilgan mahsulotdan sifatlilari soni bilan oralig’ida bo’lish ehtimoli topilsin.
Yechish. Shartga asosan .


formulaga asosan:

ni qiymatini kitobni oxiridagi 2-ilovadan topamiz.