18 mavzu. Ratsional funksiyalarni integrallash. 10. Алгебранинг баъзи маълумотлари ва тасдиқлари

2⁰. Рационал функцияларни интеграллаш. Фараз қилай-лик, рационал функция бўлиб, унинг интегралини ҳисоблаш талаб этилсин.
Айтайлик, бутун рационал функция

бўлсин. Унда

бўлади.
Айтайлик, каср рационал функция

бўлсин. Агар бўлса, унда кўпҳадни кўпҳадга бўлиш билан нинг бутун қисмини ажратиб, бутун рационал функция ҳамда тўғри каср йиғиндиси кўринишида ифодалаб олинади:
.
Равшанки,
.
Демак,

рационал функцияни интеграллаш тўғри касрни интеграллашга келади. Тўғри касрларни интеграллаш учун аввало уни 1⁰. да келтирилган усул билан содда касрларга ёйилади. Содда касрларни интеграллаш эса 29-маърузада батафсил баён этилган.
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Интеграл остидаги рационал функцияни содда касрларга ёямиз:
.
Демак,

►
4-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Интеграл остидаги функция-рационал функция бўлиб, у нотўғри касрдир. Бу касрнинг сурати кўп-ҳадни махражи кўпҳадга бўлиб, унинг бутун қисмини ажратамиз:

Демак,

Энди

тўғри касрни содда касрларга ёямиз:

Кейинги тенгликдан

бўлишини топамиз.
Демак,
.
Натижада,

бўлиб,


бўлади. ►
3⁰.Икки ўзгарувчининг рационал функцияси ҳақида. Икки ва ўзгарувчилар берилган бўлиб, бу ўзгарувчилар ёрдамида ушбу

кўпайтмани тузамиз. Қуйидаги

функция ва ўзгарувчиларнинг кўпҳади дейилади, бунда ҳақиқий сонлар.
Айтайлик, ҳамда лар ва ўзгарувчиларнинг кўпҳадлари бўлсин. Ушбу

нисбат ва ўзгарувчиларнинг рационал функцияси дейилади ва каби белгиланади:

Фараз қилайлик, ва ўзгарувчиларнинг ҳар бири ўз навбатида ўзгарувчининг

функциялари бўлсин. У ҳолда функция ва функцияларнинг рационал функцияси бўлади.
Масалан,

функция

ларнинг рационал функцияси бўлади, чунки

Хусусан, ва ларнинг ҳар бири ўзгарувчининг рационал функциялари бўлса, у ҳолда

функция шу ўзгарувчини рационал функцияси бўлади.
Энди рационал функциянинг содда хоссаларини келтирамиз:
1) Агар

бўлса, у ҳолда бу рационал функция ушбу

кўринишга келади, бунда ҳам рационал функция.
2) Агар

бўлса, у ҳолда бу рационал функция ушбу

кўринишга келади, бунда рационал функция.
3) Агар

бўлса, у ҳолда бу рационал функция ушбу

кўринишга келади, бунда рационал функция.
Машқлар

1. 
   Ушбу
   

тўғри каср содда касрларга ажратилсин.

2. 
   Ушбу
   

интеграл ҳисоблансин.