18-variant Nyuton Kottes formulalari

(6)

(11)-tenglamani metodning xatolik tenglamasi sifatida qaraymiz. U i=0,1,…, uchun bajariladi.  ,chunki  aniq beriladi. (1)-tenglama chegaralangan  vaqt oralig’ida yechiladi deb faraz qilamiz, shu sababli ixtiyoriy i va  uchun  bajariladi.

Faraz qilamiz, f(t,u) qaralayotgan sohada u bo’yicha L konstantali Lipshist shartini qanoatlantirsin. Shu faraz bilan avval ni, undan so’ng –ni baholaymz. (9) va (10)-ifodalardan va farazdan

belgilashdan so’ng oldingi tengsizlikka asosan

yoki

1-lemma

(15)-tengsizlikdan  bo’lganda

tengsizlik hosil bo’ladi, bunda 

Isbot

i=1 dagi (16)-baho i=0 dagi (15)-baho bilan bir xildir. Faraz qilamiz (16)-tengsizlik i=1,2,…,k uchun bajarilgan bo’lsin. Uning i=k+1 uchun o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.

(15) dan i=k uchun

tengsizlikka egamiz. Induksiyaning faraziga ko’ra

bundan

Shuni isbot qilish talab qilingan edi.

Endi funsiyani baholaymiz. (14) va (16) dan

bunda

shunday qilib  xatolikning o’sishi bilan  kattalik xatolikning birinchi darajasidan tez o’smasligi ma’lum bo’ldi. Endi  xatolikni baholaymiz. (11)-tenglamadan

tengsizlikka egamiz. Bundan (17)-ni inobatga olib

bunda

ekanligi ko’rinib turibdi. Agar  bo’lsa, unda  , ya’ni .