2- §. Invariant qism fazolar

Xos son va xos vektorlar. V fazo va undagi biror ^{x  0}

vektordan hosil bo‘lgan bir o‘lchamli V₁
qism fazo berilgan bo‘lsin.

Ma’lumki, V₁
fazo x
ko‘rinishidagi elementlardan tashkil topadi. V₁

fazo invariant bo‘lishi uchun ^Ax vektor ham V₁ da yotishi, ya’ni
Ax  x
bo‘lishi zarur va yetarlidir.

2.2-ta’rif. ^{Ax  x}
munosabatni qanoatlantiruvchi
x  0
vektor

A chiziqli almashtirishning xos vektori, unga mos keluvchi ^ son esa xos son deyiladi.
Shunday qilib, agar ^x vektor xos vektor bo‘lsa, u holda ^{ x}
vektorlar to‘plami bir o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Aksincha, bir o‘lchamli invariant qism fazoning noldan farqli barcha vektorlari xos vektorlardir.
2.3-teorema. ^V kompleks fazoda xar qanday A chiziqli almashtirish kamida bitta xos vektorga ega.

Isbot. ^V fazoda biror
e₁, e₂ , ..., e_n
bazis tanlab olamiz. Bu bazisda

A chiziqli almashtirishning matritsasi
(a_{i, j} )
bo‘lsin. Ixtiyoriy

x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n V
vektor uchun ^Ax vektorni qarasak,

Ax  ₁ A(e₁ )  ₂ A(e₂ )  ...  _n A(e_n ) 
₁ (a_1,1e₁  a_2,1e₂  ...  a_n,1e_n )  ₂ (a_1,2e₁  a_2,2e₂  ...  a_n,2e_n ) 
...  _n (a_1,ne₁  a_2,ne₂  ...  a_n,ne_n ) 
(a_1,1₁  a_1,2₂  ...  a_1,n_n )e₁  (a_2,1₁  a_2,2₂  ...  a_2,n_n )e_n 
...  (a_n,1₁  a_n,2₂  ...  a_n,n_n )e_n ^,

bo‘ladi. Demak,
x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n
vektor xos vektor bo‘lishi,

ya’ni ^{Ax  x}
shart bajarilishi uchun

_a_1,1₁  a_1,2₂  ...  a_1,n_n  ₁ ,
^a   a   ...  a    ,
^ 2,1 1 2,2 2 2,n n 2

_..............................................,
_^a_n,1₁  a_n,2₂  ...  a_n,n_n  _n
tengliklar o‘rinli bo‘lishi kerak. Boshqacha aytganda, agar
_(a_1,1  )₁  a_1,2₂  ...  a_1,n_n  0,
^a   (a  )  ...  a   0,

^ 2,1 1 2,2 2 2,n n

(2.1)

_...................................................,
_^a_n,1₁  a_n,2₂  ...  (a_n,n  )_n  0,
bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo‘lsa, ^x
xos vektor mavjud bo‘ladi.
Shunday qilib, teoremani isbot qilish uchun (29.1) sistemani qanoatlantiradigan  sonini va bir vaqtning o‘zida nolga teng

bo‘lmaydigan kerak.
₁, ₂ , ..., _n
sonlarning mavjud ekanligini ko‘rsatish

Ma’lumki, bir jinsli tenglamalar sistemaning noldan farqli
yechimi mavjud bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, demak

a_1,1  
^a2,1
^a1,2
a_2,2  
...
...
^a1,n ^a2,n
 0.
(2.2)

... ... ... ...

^an,1
^an,2
...
a_n,n  

Ushbu determinantdan biz  ga nisbatan ⁿ -darajali tenglama hosil qilamiz. Algebraning asosiy teoremasiga ko‘ra, kompleks sonlar maydonida xar qanday ko‘phad kamida bitta ildizga ega bo‘lganligi

uchun, bu tenglama ham ₀
ildizga ega.

(2.1) sistemada  ning o‘rniga ₀
ildizni qo‘ysak, hosil bo‘lgan

bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega

^{bo‘ladi. Ushbu noldan farqli yechimni}  ⁰ ,  ⁽⁰⁾ , ...,  ⁽⁰⁾
deb olsak,

_x0 _{ } (0)<sub>e


 </sub> (0)_e
1 2 n

 ...   ⁽⁰⁾e

1 1 2 2 n n

0
xos vektorni va unga mos keluvchi ₀
xos sonni hosil qilamiz, chunki

Ax⁰
 ₀ x
tenglik bajariladi. 

Eslatma. Agar A chiziqli almashtirishni butun fazoda emas, balki uning biror invariant qism fazosida qaralsa, u holda teoremaning isboti o‘z kuchini saqlaydi. Demak, ixtiyoriy invariant qism fazoda ham A chiziqli almashtirish kamida bitta xos vektorga ega.
(2.2) tenglama A chiziqli almashtirish matritsasining xarak- teristik tenglamasi, uning chap tomonida hosil bo‘ladigan ko‘phad esa xarakteristik ko‘phadi deyiladi.
Teoremani isbotlash jarayonida biz xarakteristik ko‘phadning ildizlari A chiziqli almashtirishning xos sonlari ekanligini, va aksincha, A chiziqli almashtirishning xos sonlari xarakteristik tenglamaning ildizlari ekanligini ko‘rsatdik.
Endi xarakteristik ko‘phad bazisning tanlab olinishiga bog‘liq emasligini ko‘rsatamiz. Yuqorida A almashtirishning xarakteristik

ko‘phadini A  E
matritsaning determinanti sifatida aniqladik. Bazis

o‘zgarganda chiziqli almashtirishning A matritsasi
C^1AC
ko‘rinishni

oladi, bu yerda C eski bazisdan yangi bazisga o‘tish matritsasi. Yangi

bazisda xarakteristik ko‘pxad determinantiga teng bo‘ladi. Ammo
C^1AC  E
matritsaning

| C^1AC  E || C^1AC  C ^1EC || C ^1( A  E)C |
| C^1 |  | A  E |  | C || A  E |  | C ^1 |  | C || A  E |
tenglikdan bazis o‘zgarganda xarakteristik ko‘phad o‘zgarmasligi kelib chiqadi.

Demak, kelgusida chiziqli almashtirish matritsasining xarakteristik ko‘phadi emas, balki chiziqli almashtirishning xarakteristik ko‘phadi deb yuritishimiz mumkin.
ⁿ -o‘lchamli chiziqli fazoda berilgan chiziqli almashtirishlar
orasida ⁿ ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lgan chiziqli almashtirishlar ma’lum ma’noda eng sodda chiziqli almashtirishlar hisoblanadi. Agar A shunday chiziqli almashtirish bo‘lsa, u holda

e₁, e₂ , ..., e_n
chiziqli erkli xos vektorlarni V fazoning bazisi deb qabul

qilish mumkin. U holda


Ae₁  ₁e₁,

Ae₂
 ₂e₂ ,

Ae_n
 _ne_n

ekanligidan A almashtirishning bu bazisdagi matritsasi


_ ₁ 0 ... 0 _

0



_ ₂ ... 0
^ ... ... ... ... ^
 0 0 ...  ^
 n 
ko‘rinishga keladi. Bundan quyidagi teorema kelib chiqadi.
2.4-teorema. Agar A chiziqli almashtirish ⁿ ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lsa, u holda A almashtirish matritsasini diagonal shaklga keltirish mumkin. Aksincha, agar biror bazisda almashtirish matritsasi diagonal shaklda bo‘lsa, u holda bu bazisning vektorlari xos vektorlardan iboratdir.
Quyidagi tasdiqda turli xos sonlarga mos keluvchi xos vektorlar chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz.

2.5-tasdiq. Agar
e₁, e₂ , ..., e_k
vektorlarlar A chiziqli almashti-

rishning xos vektorlari bo‘lib, ularga mos keluvchi
₁, ₂ , ..., _k
xos

sonlar turli xil bo‘lsa, u holda
e₁, e₂ , ..., e_k
vektotlar chiziqli erklidir.

Isbot. Buni ko‘rsatish uchun induksiya usulidan foydalanamiz.
k  1 ^{uchun bu tasdiq o‘z-o‘zidan ravshan. Endi ushbu tasdiqni} k 1 ^{ta
xos vektor uchun o‘rinli deb, uni} k ^{ta xos vektor uchun isbot qilamiz.}
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni

₁e₁  ₂e₂  ...  _ke_k  0
(2.3)

tenglik
₁, ₂ , ..., _k
koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farqli

bo‘lganda o‘rinli bo‘lsin. Aytaylik,
₁  0
bo‘lsin, u holda yuqoridagi

tenglikning xar ikkala tomoniga A almashtirishni tadbiq qilamiz:
A(₁e₁  ₂e₂ ...  _ke_k )  0,

ya’ni

₁₁e₁  ₂₂e₂ ...  _k_ke_k

 0.

(2.4)

(2.3) tenglikni _k
ifodani hosil qilamiz:
ga ko‘paytirib (2.4) tenglikdan ayirsak, ushbu

₂ (₁  _k )e₁  ₂ (₂  _k )e₂ ...  _{k 1} (_{k 1}  ₁)e_k1  0.

Induksiya faraziga ko‘ra,
e₁, e₂ , ..., e_{k 1}
vektorlarning chiziqli

erkliligi va
_i  _j
ekanligidan biz
₁  ₂
 ...  _{k 1}  0
tenglikni

hosil qilamiz. Bu esa
₁  0
degan farazga zid. Demak
e₁, e₂ , ..., e_k

vektorlar chiziqli erkli. 
Yuqoridagi tasdiqdan bevosita quyidagi natija kelib chiqadi.
2.5-natija. Agar A chiziqli almashtirishning xarakteristik ko‘phadi ⁿ ta xar hil ildizga ega bo‘lsa, u holda A almashtirish matritsasini diagonal shaklga keltirish mumkin.

Haqiqatdan ham, xarakteristik tenglamaning xar bir _k
ildiziga

kamida bitta xos vektor to‘g‘ri keladi. Bu vektorlarga mos bo‘lgan xos qiymatlarning hammasi turlicha bo‘lganligi uchun, yuqoridagi tasdiqqa

muvofiq ⁿ ta chiziqli erkli
e₁, e₂ , ..., e_n
xos vektorlarga ega bo‘lamiz.

Bu vektorlarni bazis sifatida olsak, A almashtirishning matritsasi diagonal ko‘rinishga keladi.

Agar xarakteristik ko‘phad karrali ildizlarga ega bo‘lsa, u holda chiziqli erkli xos vektorlarning soni ⁿ dan kichik bo‘lishi mumkin.
Masalan, darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosida har bir ko‘phadga uning hosilasini mos qo‘yuvchi A almashtirish faqat bitta

  0
xos qiymatga va bitta
P(t)  const
xos vektorga ega.

Haqiqatdan ham, darajasi
k  0
bo‘lgan xar qanday
P(t)
ko‘phad

uchun
P^(t)
ko‘phadning darajasi
k 1
ga teng va shuning uchun

P^(t)  P(t)
bajariladi.
tenglik faqat
^{  0} va
P(t)  const
bo‘lgan holdagin