Ekani ma’lium bo’ladi. Shuning uchun quyiddagini yoza olazmi

C’B’ kesma ajrataylik. Bundagi nuqta B nuqtaning obrazi bo’lishi isbot qilamiz
O =OC va =CB bo’lgani uchun to’g’ri burchakli OCB va O uchburchaklar o’zaro teng, bundan:
va

Ekani ma’lium bo’ladi.Shuning uchun quyiddagini yoza olazmi:

O va dan B nuqtaga nuqta mos kelishi ma’lum bo’ladi.
Aylantirishda mos to’g’ri chiziqlar aylantirish burchagiga teng burchak ostida kesishadilar (sabab?).
111. Aylantirishda har bir aylana unga teng aylanaga almashadi.
Biror (O,R) aylananing markazini va bu aylanadagi ixtiyoriy N nuqtani M nuqta atrofida bir xil burchak miqdorida aylantirib ularning
ON va kesmalar o’zaaro teng.Demak berilgan (O,R) aylanadagi ixtiyori N nuqtaning obrazi bo’lgan nuqta masofada, yani (O’,R) aylanada yotar ekan.
Nuqta atrofida aylantirish o’zaro bir qiymatli almashtirish bo’lgani uchun (O’,R) aylanada yotuvchi ixtiyoriy K’ O aylanada yotuvchi biror K nuqtaning obrazi bo’ladi(110-chizmaz).
Demak berilgan (O,R) aylanani o’z tekisligidagi biror nuqta atrofida aylantirishdan unga teng (O’,R) aylana hosil bo’ladi va bu ikki mos aylananing markazlari ham o’zaro mos bo’ladi.
Shunga binoan, berilgan aylanani berilgan nuqta atrofida biror burchak kattalagida aylantirish uchun avval uning



Markazi aylantirib, bu ayni markazdan berilgan aylana raduisi bilan chizilgan.
2) Bir nuqta atrofida bajarilgan hamma aylantirishlar to’plami ( ) ularni ko’paytirishga (qo’shishga) nisbatan guruppa tashkil etadi. Haqiqatan, 110-chizmada:
1.Agar va bo’lsa , va , bo’ladi.Bulardan esa va yoki kelib chiqadi.
Bu natija ixtiyoriy N nuqta uchun to’g’ri bo’lganidan

Bu esa ketma-ket bajarilgan ikki aylantirish o’rniga uchinchi aylantirishini bajarish mumkinligini ko’rsatadi,ya’ni almashtirish ham to’plamga kiradi.Demak, to’plamga yopiqlik hossasiga ega ekan.
11.Qaraliyotgan to’plamdagi ketma-ket uchta almashtirishni qo’shish assositavlik xossasiga ham egadir yani:

Haqiqatdan 111-chizma va (1) ga asosan:


111.Qaraliyotgan to’plamga aynan almashtirish ham mavjuddir, yani qandey nuqtani nol burchakga aylantirishdan o’sha nuqtaning o’zi hosil bo’lib, bu aylantirish ham to’plamga kiradi va ixtiyoriy burchak uchun

Bo’ladi.
IV.Qaraliyotgan to’plamdagi har qanday aylantirish teskari aylantirishga egadir va u

Shartni qanoatlantiradi. Demak, bir nuqta atrofida aylantirishlar to’plami ularni ko’paytirishga aylantirishga nisbatan gruppa tashkil etadi.
Bunda ustiga to’plamdagi aylantirishlar kommutativlik (o’rin almashtirish) qonuniga buysinadi, ya’ni ixtiyoriy va burchaklar uchun

O’rinlidir
3) O’qlari parallel bo’lmagan, ketma-ket bajarilgan ikkita simmetr aylantirish nuqta
Atrofida aylantirishga teng kuchlidir.Agar ikki to’g’ri chiziq burchak ostida kesishsa, ularga nisbatan ketma-ket bajarilgan simmetrik almashtirishlar shu o’qlarning kesishgan nuqtasiga nisbatan burchakga aylantirishga teng kuchli bo’ladi.
Bunga ishonch hosil qilish qilish uchun 112-chizmada berilgan O nuqtada o’zaro burchak hosil qilib kesishuvchi a va b o’qlar tekisligida ixtiyoriy bir M nuqta olib uning +,a o’qga nisbatan topilgan topilgan obrazini b o’qga nisbatan simmetrik almashtirish nuqtani topaylik; so’ngra M nuqtani O nuqta atrofida burchak miqdorida aylantirganda uning nuqtaga almashtirishini ko’rsatuvchi quyidagi ikki shartning mavjudligini chiqarsak kifoya:

Simmetrik nuqtalaning VII bobda aytilgan xossasiga muvofiq,quyidagi tengliklarni yoza olamiz:


Shuning uchun quyidagilar mavjud bo’ladi: