2-§ Dara tuwındılı differencial teńlemelerdi sheshiwdiń shekli ayırmalar usılı

Mazmunı:
Kirisiw
1-§ Tiykarǵı túsinikler
2-§ Dara tuwındılı differencial teńlemelerdi sheshiwdiń shekli ayırmalar usılı
3-§ Ornıqlılıqtı izertlewdiń bazıbir usılları haqqında túsinik
4-§ Ayırmalı sxemanıń ornıqlıǵın izertlewdiń garmonik usılı
5-§ Sanlı mısallar
Juwmaqlaw
Paydalanılǵan ádebiyatlar

Kirisiw
Sońǵı jıllardaǵı esaplaw texnikasınıń rawajlanıwı esaplaw usılları oblastında oǵada kóp ózgerislerge alıp kelmekte. Házirgi waqıtta esaplaw usılları iliminiń hár bir tarawında kishi máseleden baslap global áhmiyetke iye máselelerdi sheshiwge qollanılmaqta. Solay eken esaplaw usıllarınıń áhmiyeti ele de artıp baratuǵını sózsiz.

Esaplaw usılları házirgi waqıtta hár tárepleme rawajlanıwına baylanıslı olardıń birqansha túrleri islep shıǵılǵan. Atap ótsek shekli ayırmalar usılı, shekli elementler usılı, shegaralıq elementler usılı h.t.b. Bulardıń ishinde eń birinshilerden bolıp payda bolǵan hám rawajlanǵan usıl, bul shekli ayırmalar usılı bolıp tabıladı. Bul usıl eń dáslep 1928-jılı Kulant, Fridrixs hám Leviler tárepinen járiyalanǵan maqalada dara tuwındılı differencial teńlemeni sheshiwge usınıladı. Usı waqıtlar elektron esaplaw mashinalarınıń bolmaǵanlıǵı sebepli 20laǵan sol turısı menen qalıp ketti. Bunnan keyin ǵana hárqıylı mámleketlerde suyıqlıqlardıń qozǵalısı (jıljıwı) diffuziya hám neytronlardı tasıw termoyadrli reaktlerdiń nurlı energiyasın tasıw h.t.b.máselelerdi sheshiwge úlken keńmasshtabtaǵı ilimiy jumıslardıń alıp barılıwna baylanıslı elektron esaplaw mashinaların islep shıǵıw hám onı tyez pát penen rawajlandırıw kún tártibine qoyıldı.
Degen menen esaplaw usılları aqırınlıq penen rawajlanıwı, máselen algebralıq teńlemer sistemasın sheshiwdiń tiykarǵı usılı bolıp Gauss usılı xizmet etken bolsa, ápiwayı differenciallıq teńlemelerdi sheshiwdiń eń jaqsı usıllarınıń biri Runge-Kutta usılı boldı.
Esaplaw texnikasınıń tez pát penen rawajlanıwı esaplaw usıllarınıń da rawajlanıwına óz tásirin tiygiziwi, ol ilimde jańa baǵdardıń, esaplaw matematikası baǵdarınıń payda bolıwına alıp keldi. Bul baǵdardıń payda bolıwınıń birde-bir sebebi oǵada ǵıken ilimiy-texnikalıq máselelerdi sheshiwdi kún tártibine qoyılıw bolıp tabıldı. Mısalı, yadrolıq energiyanı basqarıw, yadrolıq reaktorlardı payda etiw, ushıwshı aparatlardı proektlerstiriw (samolyot háó raketalar), kosmoslıq ushıw dinamikasın úyreniw mmm basqarıwǵa baylanıslı mmm fizikasın úyreniw h.t.b. bolıp tabıladı.
Bul máselelerdi sheshiw sanlı usıllardı paydalanbaw múmkin emes bolıp qaldı, sebebi olardıń matematikalıq modelleri oǵada quramalı bolıp dál sheshimlerin izertlew múmkinshiligi joq edi.
Solay etip, quramalı bul máselelerdi sheh=shiwde esaplaw usılların qollanbaw múmkin emes bolıp qaldı. Esaplaw matematikasınıń tabısları ulıwma matematikaǵa qızıǵıwshılıqtıń artıwna alıp keldi hám onıń jańadan-jańa bólimleriniń payda bolıwına sharayat jaratıldı.
Házirgi waqıtta matematikalıq máselelerden oǵada quramalı bolǵan processlerdi teoriyalıq izertlewdiń jańa usılı, esaplaw eksperimenti payda boldı. Bul real processlerdi esaplaw matematikasınıń quralları járdeminde izertlew degen sóz.
Esaplaw eksperimenti bir neshe etaplardan turadı.
Birinshi etap - máseleni matematikalıq formulirovkalaw yamasa matematikalıq modeldi saylaw. Matematikalıq model degenimizdiń ózi, bul izertlenip atırǵan fizikalıq shamalardıń hám aldınnan belgili shamalardıń arasındaǵı baylanıs bolıp tabıladı. Bul baylanıs bazıbir teńlemeler arqalı ańlatıladı.. Mısalı, algebralıq yamasa differenciallıq model qansha ápiwayı bolǵan sayın onıń sheshimin tabıw jeńillesedi, degen menen matematikalıq ápiwayilastırıw arqalı ótip atırǵan procestiń fizikalıq mánsin joǵaltıp alıwımız da hesh gáp emes. Sonlıqtan matematikalıq model real processti durıs sáwlelendiretuǵın bolıwı shárt. Fizikanıń matematikalıq modellerin úyreniwdi shuǵıllanatuǵın pán bul matematikalıq fizika páni bolıp tabıladı. Matematikalıq fizikanıń tiykarǵı teńlemeleri, bul dara tuwındılı differenciallıq teńlemeler, integrallıq hám integrallı differenciallıq teńlemeler bolıp tabıladı.
Bazıbir qubılıstıń teńlemeleri yamasa teńlemeler sisteması saylap alınǵannan keyin bul matematikalıq modeldi differenciallıq hám integrallıq teńlemeler teoriyasınıń usılları menen izertlew kerek. Ásirese, másele durıs qoyılǵanda aldınnan berilgen shamalar jetkiliklime (baslanǵısh, shegaralıq shártler hám teńlemeniń oń jaǵı) olar bir-birine qarsı emespe h.t.b. Buǵan qosımsha qoyılǵan másele tiykarında sheshimge iyeme hám bul sheshim jalǵız sheshim bola alama. Sonıda anıqlaw kerek, bul sheshimdi anıq túrinde jazıw múmkinbe, dara sheshimlerdi alıw múmkinbe. Bul dara sheshim fizikalıq processtiń xarakteri haqqındaǵı dáslepki einformaciyalardı alıwǵa múmkinshilik beredi.
Ekinshi etap - máseleni sheshiwdiń sanlı usılların dúziw hám esaplaw algoritmin jazıw bolıp tabıladı. Bul etap ta eń áhimiyetli etaplardıń biri bolıp, bunda matematikalıq máseleni sheshiw ushın oǵan qolaylı bolǵan sanlı usıllardıń bári qollanıladı. Sońǵı waqıtları ilimiy texnikalıq máselelerdi sheshiwde kóbinese shekli ayırmalar usılı menen shekli elementar usılı qollanılaadı. Ásirese shekli ayırmalar usılı óziniń ápiwayılıq jaǵınan hám algoritm dúziw ushın qolaylılıq jaǵınan ajıralıp turadı. Degen menen de sanlı usıllardıń da ózine tán qıyınshılıqları bar. Birinshiden sanlı usıl ornıqlı bolıwı kerek. Keri jaǵdayda bunday sanlı usıl másele sheshiwge jaramsız boladı. Sanlı usıldıń ornıqlılıǵı ornatılǵanna keyin, bul usıl dáslepki differenciallıq máseleni approkcimaciyalay alama, bul approkcimaciyadan jiberilgen qáteni qanday (yaǵnıy dál shesim menen juwıq sheshim arasındaǵı ayırmashılıq) h.t.b. sanlı usıldıń ornıqlıǵı hám qátelik dárejesi ornatılǵannan keyin onıń jıynaqlılıǵı hóm dálligi ornatıladı. Solay etip bul etapta sanlı usıldıń belgili bir matematikalıq modeldi (máseleni) sheshiwi mmm ekeni ornatıladı.
Úshinshi etap – sanlı usıldıń esaplaw algorıtminiń elektron esaplaw mashinaları ushın programmaların dúziw bolıp tabıladı.
Tórtinshi etap - Elektron esaplaw mashinalarında esaplawlar júrgiziw.
Besinshi etap – alınǵan sanlı maǵlıwmatlardı analizlew hám matematikalıq modeldiń durıslıǵına isenim alıw.
Bul jumısta tiykarınan ekinshi etaptan baslap izertlewler alıp baramız. Yaǵnıy, tayar berilgen matematikalıq modelge ayırmalar sxemasın dúzemiz hám tiykarınan usı sxemalardıń ornıqlıǵın izertleymiz. Sanlı usıllardıń ornıqlıǵın izertlewdiń hár qıylı jolları bar. Solardıń biri ornıqlıqtı ornatıwdıń garmonik usılın qaraymız. Bul garmonik usılı kóbinese Neyman usılı dep te ataladı.
Jumıs kirisiwden, bes paragraftan, juwmaqlawdan hám paydalanılǵan ádebiyatlar diziminen turadı.
Kirisiw bóliminde diplom jumısında qoyılǵan máselenin aktuallıǵı hám házirgi zaman ilimindegi ornı sáwlelendiriledi. Birinshi paragraf usı diplom jumısında paydalanılatuǵın esaplaw matematikasnıń tiykarǵı túsnikleri bayan etiledi. Bunnan soń eń kerekli funkcionallıq analiz elementlerine toqtaladı. Ekinshi paragrafta sanlı usıllardıń ishindegi eń kóp qollanılatuǵın usıllardıń biri shekli ayırmalar usılı ápiwayı hám dara tuwındılı differenciallıq teńlemelerdi sheshiwde qollanıladı.
Úshinshi paragraf differenciallıq teńlemelerdiń hám ayırmalı sxemalardıń sheshimleriniń ornıqlılıǵın izertlewdiń garmonik usılı haqqında qısqasha bayan etiledi. Bunda dáslep differenciallıq teńlemeniń sheshiminiń ornıqlılıǵın izertlewdiń garmonik usılı qarap ótilse, keyin usı usıl ápiwayı ayırmalı sxemalardıń sheshiminiń de ornıqlılıǵın izertlewge qollanıw jolları kórsetiledi.
Tórtinshi paragrafta hár-qıylı differenciallıq teńlemelerge dúzilgen ayırmalı sxemanıń ornıqlıǵı garmonik usılı járdeminde izertlenedi.
Besinshi paragrafta sanlı usıllarǵa toqtalıp ótiledi, hám jumıstıń sońında juwmaqlaw keltiriledi. Bunnan keyin jumıstı jazıwda paydalanılǵan tiykarǵı ádebiyatlar beriledi.

1-§ Tiykarǵı túsinikler

1.1 Ayırmalar sxeması.Approkcimaciya qáteligi.
Ádette evolyucion tiptegi teńlemelerdi (waqıtqa abylanıslı teńlemeler) qaraǵanda onıń sheshimin bazıbir oblastına onıń shegarası bolǵan da berilgen shártler boyınsha qaraydı. Bul shártler baslanǵısh shártler (sheagarlıq másele) bolıwı múmkin. Bul jumısta tómendegi tasıw teńlemesi dep atalatuǵın
(1)
Teńlemesi hám tolqın teńlemesi dep atalatuǵın
(2)
Teńlemesine hárqıylı shegaralıq máselelerdi qoyamız hám taǵı basqa da usıllarǵa uqsaǵan máselelerdi sanlı sheshiw barısında olardıń sheshimleriniń ornıqlıǵı haqqındaǵı maǵlıwmatlardı alıwǵa háreket etemiz. I
Dara tuwındılarǵa iye teńlemelerdi sanlı sheshkenimizde torlıq oblasttıń túyinlerinde anıqlanǵan setkalıq funkciyalar menen jumıs alıp baramız. Eń ápiwayı torlıq oblast, bul teńólshemli tuwrımúyeshli tor bolıp tabıladı.

Bunda sáykes hám boyınsha tordıń adımları dep atalatuǵın oń sanlar bolıp tabıladı; hám - pútin sanlar(1-sızılma)

1-sızılma
Ápiwayılıq ushın dep belgileyik. Onda tordıń túyinleriniń kópligin dep belgileymiz, bul torlıq oblast bolıp tabıladı. Kóp jaǵdaylarda dep qabıl etiledi, egerde bolsa. Teńólshemli tuwrımúyeshli torlardı qaraǵanımızda dep belgilewdi kiritkenimiz maqul. Bul jerde niń qabıl etken bzaıbir mánisine sáykes keletuǵın túyinlerdiń kópligi qatlam dep ataladı. Biz keyingi izertlewlerimizde tek ǵana usınday teńólshemli tuwrımúyeshli torlardı qaraymız. Egerde bolsa onda dı hám bul jaǵdayda tor tek birǵana parametr arqalı ańlatıladı hám oblast boladı.
oblastında anıqlanǵan torlıq funkciyasın komponentaları menen berilgen vektor retinde qarawǵa boladı. Onda torlıq funkciyalar keńisliginde bazıbir nomanı (metrikanı) kiritiwimiz múmkin boladı. Mısalı:
Ayırmalı sxemalar usılınıń tiykarǵı ideyası tómendegiden ibarat. Differenciallıq teńleme baslanǵısh hám shegaralıq shártler tordıń túyinlerinde anıqlanǵan izlenip atirǵan funkciyanıń mánislerin baylanıstırıwshı torlıq teńlemeler menen almastırıladı (approkcimaciyalanadı)
Torlıq teńleme, tordıń ózide bazıbir parametr retinde anıqlanıwshı adım qa ǵárezli boladı. Bul torlıq máseleniń birikpesi bizge ayırmalar sxemasın beredi.
Joqarıda keltirilgen (1)- teńleme ushın bol[anda

Baslanǵısh shártin qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıw máselesin (Koshi máselesin) qarayıq. Bul jerde - joqarǵı yarım tegislik , , al kósheri boladı. Usı máselege ayırmalar sxemasın dúzeyik. Tuwrımúyeshli
torın anıqlaymız. Endi tuwındısn tochkasında
(3)
ańlatpası menen tuwındısın usı tochkada
(4)
ańlatpası menen almastıramız. Sonda biz (1)-teńlemsiniń approkcimaciyası bolǵan
(5)
torlıq teńlemesine iye bolamız. Bul jerde (3)-ańlatpaǵa waqıt boyınsha aldıǵa qarata ayırmalı ańlatpa dep, al (4)-ańlatpa boyınsha keyinge qarata ayırmalı ańlatpa dep ataladı.
Usı (5)-torlıq tómendegi túyinler kóplegen ádette shablon dep ataydı. Bul shablon tómendegi 2-sızılmada keltirilgen.

2-sızılma
(1)-teńleme ushın Koshi máselesine kiretuǵın

baslanǵısh shárti tómendegi torlıq baslanǵısh shárt penen almastırıladı:
(6)
Endi torlıq shegaralıq másele menen differenciallıq shegaralıq másele arasındaǵı jaqınlıqtı kórsetiwshi bazıbir túsiniklerdi anıqlaymız. Bunday jaqınlıqtı xarakterleytuǵın eń ápiwayı túsinik, bul dál sheshimdi torlıq shegaralıq máseleniń teńlemesine aparıp qoyıwdan payda bolǵan ayırmanıń shaması bolıp tabıladı. Buǵan anıqlama bermesten aldımn bazıbir belgilewlerdi kiriteyik. Meyli
(7)
Shegaralıq máselege kiretuǵın barlıq teńlemeler kópligi bolsın, yaǵnıy tiykarǵı differenciallı teńlemeler hám shegaralıq shárt. Onda oǵan sáykes torlıq shegaralıq máseleniń teńlemeleriniń kópligine oǵan sáykes
(8)
túrinde kiritemiz.
1-anıqlama. Dál sheshimge sáykes ayırmalar sxemasınıń approksimaciya qáteligi dep, shegaralıq máseleniń dál sheshimin ayırmalar sxemasınıń teńlemelerine aparıp qoyıwdan payda bolǵan

Torlıq funciyasın aytamız.
(8)-sxema (7)-teńlemeni approksimaciyalawshı dep ataladı, egerde da

bolsa, egerde

bolsa, onda sxemanıń approlsimaciya tártibi ǵa teń dep aytıladı.
Meyli, (5),(6)-sxemanı qarayıq, Meyli, dál sheshim hám boyınsha úzliksiz, teńólshemli shegaralanǵan ekinshi tártipli tuwındılarǵa iye bolsın hám . Baslanǵısh shárt (6)-arqalı dál approksimaciyalansın. Solay etip sxemanıń approksimaciya qáteligi (5)-teńlemeden tómendegishe anıqlanadı. Teylor formulası boyınsha tómendegilerge iye bolamız.
(9)
Endi (9)-ańlatpalardı (5)-torlıq teńlemelerge aparıp qoysaq, tómendegige iye bolamız.
(10)
Solay etip, sxemanıń approksimaciya qáteligi

boladı, sebebi , mısalı , yaǵnıy joqarıdaǵı (5)-(6)-sxeması birinshi tártipli approksimaciya qáteligine iye degen sóz.
Approksimaciya qáteligi túsinigin basqasha usıllar járdeminde kiritiw múmkin.