2- ma’ruza. Elektrotsatik maydon va uning kuch xarakteritsikasi reja

Ostrogradskiy-Gaussteoremasi.Elektrostatikmaydondagioqim uchun quyidagi teoremamavjud. Harqandayixtiyoriyyopiqsirtorqalio’tgankuchlanganlikvektoriningoqimishusirtichidajoylashganzaryadlaralgebraikyig’indisiningproparsionallikkoeffisiyentiningnisbatigatengdir.SI sistemasida proporsionallik koeffisiyenti 1/₀ ga teng va teorema quyidagi ko’rinishda bo’ladi:




belgiintegralyopiqsirtbo’yichaolinishinibildiradi. Yokiinduksiyavektoriorqaliifodalasak: (20) Yopiksirtorkalio’tayotganinduksiyaokimishusirtichidajoylashganzaryadlaryig’indisinateng. O’ngtomondagiyig’indinizaryadzichligiorqaliifodalasak, teoremaquyidagiko’rinishgakeladi:

, (21)

integralhajmbo’yichaolishinibildiradivabuformulaOstrogradskiy-Gaussteoremasiningintegralko’rinishidir.
Teoremaniisbotqilishniuchetapgabo’libolibboramiz.
1. Dastlabqo’shimchashartisbotqilinadi. q nuqtaviyzaryadmaydonidaS - yuzachadano’tgankuchlanganlikoqimiFshuzaryadvafazoviyburchakorqalianiqlanadi, ya’ni

(22)

(23)
bu yerda ishora yuzaga tushirilgan normal bilan aniqlanadi.Aniqroq bo’lish uchun zaryad q ni musbat deb hisoblaymiz. S ganormalnishundaytanlaymizki, ya’niuradiusvektorrbilano’tkirburchakhosilqilsin. Formula (16) gaqo’yib, nuqtaviyzaryadkuchlanganliginingabsolyutmiqdoriuchunquyidagigaegabo’lamiz:

lekin, Scos=S_,buyerdaS_- rgaperpendikulyarbo’lgantekislikyuzasi,

Rasm 11. (S_/r²)= - fazoviyburchak (=S/r²). Shularniva (-) ishorasinihisobgaolsakbuformula (19) gao’tadi.(+) ishora normalning zaryad q dan yo’nalishga, (-) normalga teskari yo’nalishga mos keladi.

R asm 11.
2.Enditeoremanito’lanuqtaviyzaryadmaydoniuchunisbotlaymiz. Istalgan ixtiyoriy yopiq sirt orqali o’tgan kuchlanganlik oqimi q/₀ yoki 0 ga teng, bu esa zaryad q ni sirtning ichida yoki
tashqarisida bo’lishiga bog’liqdir.
Rasm 12.
Sirtni qavariq deb, uni kichik qismlarga bo’lamiz, ulardan har biri tegishli fazoviy burchak doirasida to’plangan (rasm -12 a). Sirtning har bir qismidan o’tuvchi kuchlanganlik oqimi formula (23) bilan aniqlanadi. Agar sirt zaryadni o’rab olsa ( rasm 12 a ), u vaqtda bu formulada (+) ishora olish kerak, chunki sirtning barcha qismlarida tashqi normal zaryad q dan tashqariga yo’nalgan. Sirtning barcha qismlaridan o’tgan oqimlarning yig’indisini olsak va yoyilgan fazoviy burchak 4 steradianga teng bo’lishini hisobga olsak, to’la oqim uchun quyidagi ifodani yozamiz:

(24)

Agar zaryad yopiq sirtdan tashqarida joylashsa, u vaqtda sirt bitta fazoviy burchak doirasida juft uchastkalarga bo’linadi (rasm 12 b ). Har ikkita shunday uchastkadan o’tuvchi oqimlar ishoralari F (19) ga ko’ra qarama-qarshi bo’ladi, chunki uchastkalardan birida normal q zaryadga tomon yo’nalgan. Shuning uchun yig’indi olganda kichik oqimlar bir-birini yo’qotadi va butun sirt orqali o’tuvchi to’la oqim nolga teng bo’ladi.

Shundayqilib,shuniisbotqilishkerakedi, isbotqilindi. Bizqaraganholdasirtqavariqedi, lekinteoremaharqandayformadagiyopiqsirtuchuno’rinlidir (rasm3.6). Buyerdazaryaddano’tuvchinuryopiqsirtnijudako’pkesibo’tadi. Oqimningbuuchastkalardankesibo’tgan kuchlanganlikchiziqlariningabsolyutmiqdorlarixuddiqavariqsirtdagisingaribo’ladi, ishoralarnavbatlashadi, chunkinormalningyo’nalishihamalmashadi. Zaryadnio’rabto’rgansirtuchun (rasm 3.6 a). Fazoviyburchakchegarasidagiuchastkalarsonihammavaqttoqbo’ladi, yig’indisiolingandafaqatchetkiuchastkalardankompensirlanmaganoqimFqoladi. Zaryado’rabolmagansirtuchun (rasm13b) fazoviyburchakdoirasidauchastkalarsonijuftbo’ladi, yig’indisiolingandaoqimlarjuft-juftbo’libbir-biriniyo’qotadi.

3 . Nihoyat, Gaussteoremasiniumumiyholuchunixtiyoriysistemadaginuqtaviyzaryadlarmaydoniuchunisbotqilamiz. Kuchlanganlikuchunsuperpozisiyaprinsipidanma’lumki, ixtiyoriyyopiqsirtorkalio’tgankuchlanganlikoqimvektorinisistemaningharbirnuqtaviyzaryadihosilqilganoqimlarF_iyig’indisidaniboratdebqarashmumkin.
rasm13

Yuqoridaqilganisbotimizgako’ra, zaryadningsirtdantashqaridahosilqilganoqimlari 0 gateng, sirtichidajoylashganlari q/₀ gatengbo’ladi. Shundayqilib,
(26)
buyerdao’ngda S sirtichidajoylashganzaryadlarkiradi.
Gaussteoremasizaryadlarvaularninghosilqilganmaydoninibog’lasada, umumanolgandazaryadningberilgantaqsimlanishibo’yichamaydonkuchlanganliginihisoblashimkoniyatinibermaydi, chunkiEkeyingiintegraltagidadir. Lekinzaryadningtaqsimlanishisimmetrikbo’lganholda, uyokibuformadayopiqsirttanlabolishimkoniyatibo’lganhollardakuchlanganlikvektorihammayerdasirtgaperpendikulyarbo’ladivauningbarchaqismlaridaabsolyutqiymatibirxilbo’ladi. BundayholdakuchlanganlikkattaligiE = E_n=constbo’ladivauniintegraldanchiqarishvaaniqlashmumkin.