2-§. Variaciyalıq esap pániniń kelip shıǵıw tarıyxı. Klassikalıq máseleler. Variaciyalıq esaptıń páni

2 - сүўрет

2 - сүўрет
Álbette, materiallıq noqattıń óziniń salmaǵı menen eń tez tómen túsiw sızıǵı A hám B noqatların tutastıratuǵın tuwrı sızıqtıń kesindisi bolmaydı. Sebebi, materiallıq noqat tuwrı sızıq boyınsha qozǵalǵanda, onıń qozǵalıs tezligi salıstırmalı tómen (áste) boladı. Al, egerde A noqatınan ádewir tikke tómen túsetuǵın iymeklikti alsaq, onda jol uzaysa da, joldıń kópshilik úlesi joqarı tezlik penen ótiledi.
Bul máseleni sheshiw
(1.4)
funkcionalınıń minimum mánisin tabıwǵa keltiriletuǵını dálillengen. Bunda Jer betine jaqın aralıqtan erkin túsiw tezleniwi.
2. Geodeziyalıq sızıqlar haqqındaǵı másele. Bul máselede bazı bir betiniń ústinde berilgen eki A hám V noqatların tutastıratuǵın, eń qısqa sızıqtı anıqlaw talap etiledi (3-súwret). Bunday qısqa sızıqlar geodeziyalıq sızıqlar dep ataladı. Bul másele funkcionaldıń shártli ekstremumı dep atalatuǵın máseleni sheshiwge keltiriledi: shártin qanaatlandıratuǵın hám funkiyaları ushın
(1.5)

3 – súwret
funkcionalınıń minimumın tabıw kerek boladı. Bul máseleni 1698-jılı Ya. Bernulli sheshedi. Biraqta, bunday túrdegi variaciyalıq máselelerdi sheshiwdıń ulıwma usılı tek L. Eylerdiń hám J. L. Lagranjdıń (1736-1813jj.) miynetlerinde ǵana bayanlanadı.
3. Izoperimetrlik másele. Bul máselede, eń úlken (maksimum) S maydanın qorshaytuǵın berilgen L uzınlıqtaǵı tuyıq sızıqtı tabıw talap etiledi. Bunday sızıq, áyemgi Greciyada aq málim bolǵanınday, tegislikte sheńber boladı, al keńislikte shar boladı.
Izlenip atırǵan iymeklikti parametrlik kórinisinde qarap, bul máseleni matematika tilinde tómendegishe qáliplestiriwge boladı:
(1.6)
funkcionalınıń maksimum mánisin

funkcionalı


(1.7)
turaqlı mánisin saqlaǵanday etip, anıqlaw talap etiledi.
Solay etip, bul jaǵdayda shártli variaciyalıq másele kelip shıǵadı: óz aldına ózgeshe (7) shárti berilgende (6) funkcionalınıń maksimum mánisin tabıw talap etiledi. Bunday shártler izoperimetrlik shártler dep, al teń parametrge iye bolǵan tegislik yamasa keńislik figuraları - izoperimetrlik figuralar dep ataladı. Izoperimetrlik shártleri bar variaciyalıq máselelerdi sheshiwdıń ulıwma usılı L. Eyler tárepinen jaratıldı.