Integraldıń anıqlaması

2.9. Kompleks ózgeriwshili funkciyanıń integralı

1⁰. Integraldıń anıqlaması. Meyli kompleks sanlar tegisliginde bólekli sıypaq iymekligi berilgen bolsın. Bul iymeklikti dan ǵa qaray

noqatlar járdeminde bolǵan bólekke ajıratamız (bunda iymekliktiń baslanǵısh noqatı , arqalı noqatı bolsın).
lardıń uzınlıqları lardıń eń úlkenin menen belgileymiz:

Hár bir da qálegen noqat alıp, soń funkciyasınıń sol noqattaǵı mánisin ge kóbeytip,

qosındısın dúzemiz. Bul qosındı funkciyanıń integrallıq qosındısı dep ataladı.
Joqarıda qosındı da alınǵan noqatlarǵa baylanıslı boladı.
2.9.1-anıqlama. Eger da funkciyanıń integrallıq qosındısı iymekliktiń bóliniw usılına hám da noqatınıń tańlap alınıwına baylanıslı bolmaǵan halda shekli limitke iye bolsa, onda bul limit funkciyanıń iymeklik boyınsha alınǵan integralı dep ataladı hám

kórinisinde belgilenedi. Demek,
.
Bul jaǵdayda funkciyası iymeklik boyınsha integrallanıwshı funkciya dep ataladı.
Mısal. funkciyasınıń dáslepki noqatı hám aqırı noqatta bolǵan sıypaq (bólekli sıypaq) iymeklik boyınsha integralın tabamız.
Meyli funkciyasınıń integrallıq qosındısı


boladı. Eger hám ekenligin esapqa alsaq, onda

kelip shıǵadı. Dara jaǵdayda bolsa, yaǵnıy tuyıq iymeklik bolsa, onda

boladı.
2⁰. Integraldıń bar bolıw shártleri.
Joqarıda keltirilgen 2.9.1-anıqlamada integral iymeklikke hám onda berilgen funkciyaǵa baylanıslı boladı.
Meyli iymeklik kóriniste berilgen bolsın. Bunda funkciyalar segmentinde anıqlanǵan úzliksiz hám úzliksiz tuwındılarǵa iye , parametr dan qaray ózgergende noqat dan ǵa qaray ózgeredi.
iymeklikte funkciya anıqlanǵan hám úzliksiz bolsın. segmenti

noqatlar járdeminde bólekke ajıratamız. funkciya bul noqatlardı iymekliktiń noqatlarına sáwlelendiredi. noqatlardıń iymekliktegi obrazın

dep alayıq.
Nátiyjede bul noqatlar járdeminde iymeklik bóleklerge ajıraladı. Hár bir da qálegen noqattı alamız. Bunnan ekenligi belgili.
Endi qosındını qaraymız. Bul qosındıda
,

esapqa alıp, tómendegige iye bolamız:

(*)
Bul teńliktiń oń tárepindegi hár bir qosındı hám funkciyalardıń iymek sızıqlı integralları ushın integrallıq qosındılar bolıp tabıladı. Qaralıp atıǵan funkciya iymekliginde úzliksiz. Sonlıqtan hám funkciyalar iymekliginde úzliksiz. Demek, bul funkciyalardıń iymeklik boyınsha integralları bar boladı hám
,
(*) teńlikte shekke ótip,

iye bolamız. Bunnan da qosındı shekli shekke iye hám iymekligi boyınsha integralı

kelip shıǵadı. Nátiyjede tómendegi teoremaǵa iye bolamız.