2-3-Mavzu: Sonli va o’zgaruvchili ifodalar, ayniyat va ayniy shakl almashtirish

5. Ifodalarni shakl almashtirish


13 – ta’rif. O‘zgaruvchining har qanday qiymatida to‘g‘ri bo‘lgan tenglk ayniyat deyiladi. To‘g‘ri sonli tengliklar ham ayniyat hisoblanadi. Masalan, ilgari qaralgan hamma haqiqiy sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish qonunlari, yig‘indidan sonni ayirish, sondan yig‘indini ayirish qoidalari, yig‘indini songa bo‘lish qoidasi va boshqalar ayniyat hisoblanadi. Nol va birlar bilan bajariladigan amallar qoidalari ham amallar hisoblanadi: a+0=0+a=a, a:1=a. Bu va boshqa umumiy qoidalarga tayanib, amalda berilgan ifodani aynan shakl almashtirishni berilgan ifodadan unga aynan teng bo‘lgan boshqa ifodaga ketma – ket o‘tish deb tushunib,ifodalarning aynanligi aniqlanadi.
Misollar. 1. Ikki kasr yig‘indisi berilgan bo‘lsin. Agar a, b, c o‘zgaruvchilarga son qiymatlar berilsa, bunda u holda oddiy kasrlar yig‘indisi hosil bo‘lib ular uchun ayniyat bo‘ladi.
2. ifodani soddalashtiramiz. Bu kasrlar maxrajlari koeffisentlarining eng kichik umumiy karralisi 36 ga teng. Umumiy maxraj uchun 36xy²ni olish mumkin. Umumiy maxrajni har bir kasrning maxrajlariga bo‘lib chiqamiz.



Hosil bo‘lgan va 4 lar mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi kasrlar uchun qo‘shimcha ko‘paytuvchilar bo‘ladi. Berilgan ifodadagi har bir kasrning surat va maxrajini mos qo‘shimcha ko‘paytuvchilarga ko‘paytirib, uni umumiy maxrajga kelitramiz va bir xil maxrajli kasrlarni qo‘shish qoidasidan foydalanamiz – bu aynan shakl almashtirishdir:
.
Boshlang‘ich matematika kursida faqat sonli ifodalarnigina shakl almashtiriladi. Masalan, 3(2+10)= . Bunda berilgan ifodadan unga aynan teng ifodaga o‘tish ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taqsimot qonuniga asosan bajariladi, so‘ngra natural sonlarni ko‘paytirish va qo‘shish qoidalari qo‘llanadi.


Mustaqil o’zlashtirish uchun savol va topshiriqlar:

1. 
   Sonli ifoda nima?
   
2. 
   Sonli ifodaning qiymati deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Qanday ifoda ma’noga ega emas deyiladi?
   
4. 
   O‘zgaruvchili (yoki analitik) ifoda nima?
   
5. 
   Algebraik ifoda nima?
   
6. 
   Rasional ifoda deb qanday ifodaga aytiladi?
   
7. 
   Butun rasional, kasr rasional va irrasional ifodalar deb qanday ifodalarga aytiladi?
   
8. 
   Trasendent amallarga qanday amallar kiradi?
   
9. 
   Transendent ifoda nima?
   
10. 
    Ifodaning son qiymati deb nimagi aytiladi?
    
11. 
    O‘zgaruvchili ifodaning son qiymati deb nimaga aytiladi?
    
12. 
    O‘zgaruvchili ifodaning aniqlanish sohasi nima?
    
13. 
    Sonli tenglik nima? Uning qanday xossalarini bilasiz?
    
14. 
    Sonli tengsizlik nima? Uning xossalarini ayting.
    
15. 
    Qanday ifoalar aynan teng ifodalar deyiladi?
    
16. 
    Ayniyat deb nimaga aytiladi?
    
17. 
    Quyidagi sonli ifodalarning qiymatlarini toping.
    

1) 2)
3) 4)


5)


18. O‘zgaruvchining qanday qiymatlarida algebraik ifoda ma’noga ega emasligini aniqlang.


1) 2) 3) 4)
5) log₂(x+5); 6) ln 7) lg (2x+4)
19. ifodaning x=5, y= bo‘lganda qiymatini toping.
20. ifodaning x=5, y=1,5 bo‘lganda qiymatini toping.
21. ifodaning qiymatini toping, bunda x=4, u=9.
22. Quyidagi sonli tenglik va tengsizliklarning qaysilari rost ekanligini aniqlang.


1) 2)
3) 4) 7508+8334<26038
5)


23. x>y to‘g‘ri tengsizlik bo‘lsa, quyidagi tengsizliklar to‘g‘ri bo‘ladimi?
1) 2) 3)
4) 5) 6) > ;


24. Ushbu ifoda x ning qanday qiymatlarida to‘g‘ri bo‘ladi?


25. Quyidagi ifodalarni soddalashtiring:

1. 
   , x<-1
   
2. 
   , x>5
   
3. 
   ,
   
4. 
   .
   

26. Quyidagi ifodalarni soddalashtiring:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .

^tengsizlikka quyidagicha ham ta’rif berish mumkin: agar a>b bo‘lsa, b a dan kichik, a b dan katta, a b dan oldin keladi, b a dan keyin keladi deb ataladi.