2. Funktsiya grafigining qavariqligi va botiqligi. Funktsiya grafiginiң asimptotalari. Asosiy ibora va atamalar

2. Funktsiya grafigining qavariqligi va botiqligi.
funktsiya intervalda berilgan bo’lib, shu intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. U holda funktsiya grafigiga ixtiyoriy nuqtada urinma mavjud. Bu urinma bo’lsin.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy nuqtalar, hamda uchun bo’lsa, funktsiya grafigi intervalda botiq (qavariq) deyiladi. (1-rasm).



1-rasm
2-teorema. Agar funktsiya intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lib,

bo’lsa, funktsiya grafigi intervalda botiq (qavariq) bo’ladi.

Isbot. Faraz qilaylik, intervalda bo’lsin. intervalda ixtiyoriy s nuqta olamiz. Teoremani isbotlash uchun funktsiya grafigi nuqtadan o’tuvchi uriamadan yuqorida yotishini ko’rsatishimiz kerak.(2-rasm).

2-rasm
Urinmadagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari bo’lsin. U holda nuqtadan o’tuvchi urinma tenglamasi:
(1)

Endi funktsiyaning nuqta atrofida Teylor formulasi bo’yicha yoyamiz:

(2)
(1) va (2) tengliklardan,

Ekanligini topamiz. ning manfiy bo’lmasligini e’tiborga olsak, uchun ya’ni tengsizligi hosil bo’ladi. Bu esa funktsiya grafigi intervalda (1) urinmadan yuqorida yotishini, ya’ni botiq ekanligini bildiradi.
4-ta’rif. Agar funktsiya araliqda qavariq (botiq) bo’lib, araliqda botiq (qavariq) bo’lsa, u holda nuqta funktsiya grafigining (funktsiyaning) egilish nuqtasi deyiladi.
Misol.Ushbu



funktsiyaning qavariq va botiqlik oraliqlarini toping.
Funktsiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:


,botiqligi: qavariqligi:
a) a) _{yechimga ega emas}

b) _b)

_{Demak, funktsiya, intervallarda botiq, intervalda qavariq.}