2 Как мы видели ранее, основной характеристикой последовательностей является разности соседних элементов, а значит необходимо определить понятие первых, вторых и т д. разностей и то, как они выражаются через элементы последовательности

1) Пусть дана последовательность возрастающих натуральных чисел, к примеру: тогда сразу можно написать, что yⁿ=1+(n-1)10+ 6=
2)Рассмотрим ряд 1+4+9+16+…+n²
а) Тогда первые разности 3, 5, 7,…
б) Вторые разности 2, 2, 2,…
в) Тогда по формуле (5) будем иметь:
Sⁿ=n+ + (S⁵=5+ +5*4=55=1+4+9+16+25)
3) Рассмотрим ряд 1+8+27+…+n³
а) Тогда первые разности 7, 19, 37,…
б) Вторые разности 12, 18, 24,…
в) Третьи разности 6, 6, 6
г) Тогда по формуле (5) будем иметь:
Sⁿ=n+ + +
4) Рассмотрим ряд 1+32+243+1024+3125+7776…+n⁵
а) Тогда постоянны пятые разности, а значит:
б) A¹=1; A²=33; A³=276; A⁴=1300; A⁵=4425; A⁶=12201
в) Тогда по формуле (6) будем иметь:

Sⁿ=

5) Пусть требуется определить сумму
ранее мы показали, что , а значит и тогда искомая сумма слагаемых
№4 Суммирование с использованием первых разностей
1) Теперь приступим к нахождению сумм числовых последовательностей не образующих конечных разностей, но при этом уже заданных некоторой формулой.
2) Рассмотрим последовательность , где для выполняется для нахождения её суммы можно воспользоваться следующим приёмом. Пусть -частичная сумма тогда Aⁿ⁺¹-Aⁿ=Xⁿ. Если знаком ∑ обозначить формулу n-ного элемента последовательности, разность которой Xⁿ ,то искомая сумма будет равна: