2-маъруза. Ҳақиқий сонлар тўплами. Режа

нисбати. Аввал айтганимиздек, рационал сонлар устида, хусусан чекли ўнли 

касрлар  устида  бажариладиган  амаллар  ва  уларнинг    хоссалари  маълум  деб 

ҳисоблаймиз. 

Айтайлик, иккита мусбат 

...

...

,

...

...

,

2

1

0

2

1

0

n

n

b

a





















 

ҳақиқий сонлар берилган бўлсин. Унда  

0



n

 бўлганда ушбу 

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

а

a

a

a

a

a

a

a

a

а

10

1

...

10

10

)

1

(

...

,

,

10

...

10

10

...

,

2

2

1

0

2

1

0

''

2

2

1

0

2

1

0

'





























 

рационал сонлар учун 

,

'

'

'

n

n

a

a

a





                                  (4) 

шунингдек, 

,

10

...

10

10

...

,

2

2

1

0

2

1

0

'

n

n

n

n

b





























 

n

n

n

n

b

10

1

...

10

10

)

1

(

...

,

2

2

1

0

2

1

0

'

'

































 

рационал сонлар учун 

'

'

'

n

n

b

b

b





                                 (5) 

бўлади. 

Энди  (4)  ва  (5)  тенгсизликларни  қаноатлантирувчи    рационал 

сонларнинг  йиғиндиси 

'

'

n

n

b

a



  лардан  иборат  {

'

'

n

n

b

a



}  тўпламни  қараймиз. 

Равшанки,  бу  тўплам  юқоридан  чегараланган.  Унда  4-маърузадаги  3-

теоремага кўра {

'

'

n

n

b

a



} тўпламнинг аниқ юқори чегараси мавжуд бўлади. 

14-таъриф.  {

'

'

n

n

b

a



}  тўпламнинг  аниқ  юқори  чегараси  a   ва  b  

ҳақиқий сонлар йигиндиси  дейилади ва  

b

a



  каби белгиланади: 

}.

{

sup

'

'

0

n

n

n

b

a

b

а









 

(4)  ва  (5)  тенгсизликларни  қаноатлантирувчи  рационал  сонларнинг 

кўпайтмаси 

'

'

n

n

b

a



  лардан  иборат  {

'

'

n

n

b

a



}  тўпламни  қараймиз.  Бу  тўплам 

юқоридан  чегараланган  бўлади.  Шунинг  учун  унинг  аниқ  юқори  чегараси 

мавжуд бўлади.  

15-таъриф. {

'

'

n

n

b

a



} тўпламнинг аниқ юқори чегараси  a  ва b  ҳақиқий 

сонлар кўпайтмаси дейилади ва  

b

a



 каби белгиланади. 

}.

{

sup

'

'

0

n

n

n

b

a

b

а









 

(4)  ва  (5)  тенгсизликларни  қаноатлантирувчи  рационал  сонларнинг 

нисбати 

''

'

n

n

b

а

 лардан иборат 













'

'

'

n

n

b

а

 тўплам юқоридан чегараланган бўлади.  

16-таъриф. 













'

'

'

n

n

b

а

  тўпламнинг  аниқ  юқори  чегараси  a   сонининг  b  

сонига нисбати дейилади ва 

b

а

 каби белгиланади.              

.

sup

'

'

'

0

















n

n

n

b

а

b

а

 

Айтайлик  a  ва b  мусбат  ҳақиқий сонлар бўлиб,  

b

a



 бўлсин. 

17-таъриф.  {

''

'

n

n

b

a



}  тўпламнинг  аниқ  юқори  чегараси  a   сонидан  b  

сонининг айирмаси дейилади ва  

b

a



 каби белгиланади. 

}.

{

sup

''

'

0

n

n

n

b

a

b

а









 

Эслатма.  1)  Ҳақиқий  сонлар  устида  бажариладиган  қўшиш, 

кўпайтириш, айириш ва бўлиш амалларини тўплам-нинг аниқ қуйи чегараси 

орқали ҳам таърифлаш мумкин. 

Масалан,  a   ва  b   ҳақиқий  сонлар  йиғиндиси  қуйидагича  

таърифланади: 

}

{

inf

'

'

'

'

0

n

n

n

b

a

b

а









. 

Ҳақиқий  сонларда,  юқорида  киритилган  амаллар  ўрта  мактаб 

математика курсида ўрганилган амалларнинг барча хоссаларга эга. 

2

0

.  Ҳақиқий  соннинг  даражаси.  Аввал  ҳақиқий  соннинг  0-ҳамда  n - 

даражалари  (

N

n



)  қуйидагича 

)

(

,

...

,

1

та

0

N

n

a

a

a

a

а

n

n





















   

аниқланишини  таъкидлаймиз. 

Теорема (исботсиз). Фараз қилайлик, 

0



a

  ва 

N

n



  бўлсин.  У  ҳолда 

шундай ягона мусбат  x  сони топиладики, 

a

x

n



 

бўлади. 

18-таъриф. Мусбат ҳақиқий  a  сонининг  n  даражали илдизи деб ушбу 

a

x

n



 

тенгликни  қаноатлантирувчи ягона  x  сонига айтилади ва  

n

n

a

a

x

1





 

каби белгиланади. 

Айтайлик,  a  мусбат ҳақиқий сон,  r  эса мусбат рационал сон бўлсин: 

N

n

m

n

m

r

a







,

,

,

0

. 

Бу ҳолда  a  сонининг  r - даражаси қуйидагича 

 

n

m

r

a

а

1



 

аниқланади.   

19-таъриф.  Фараз  қилайлик, 

0

,

1





b

a

  ҳақиқий  сонлари  берилган 

бўлсин,  a   сонининг 



b даражаси  деб  ушбу 

 

'

n

b

a

  тўпламнинг  аниқ  юқори 

чегарасига айтилади: 

 

.

sup

'

0

n

b

n

b

а

а





 бунда 

...

,

...

,

,

,

,

...

,

,

,

2

1

0

2

1

0

n

n

n

b

b























 

3

0

.  Ҳақиқий  соннинг  абсолют  қиймати.  Айтайлик 

R

x



  сон 

берилган бўлсин. Ушбу  















,

бўлса

0

агар

,

,

бўлса

0

агар

,

х

х

х

x

x

 

миқдор  x  сонининг абсолют қиймати дейилади. 

Ҳақиқий соннинг абсолют қиймати қуйидаги хоссаларга эга: 

1) 

R

x



 сон учун 

x

x

x

x

x

x

x













,

,

,

0

 

муносабатлар ўринли, 

2) 

a

x

a

a

x











, 

   

a

x

a

a

x











,             

)

0

(



a

        

3) 

R

y

R

x





,

 сонлар учун 

)

0

(

,

,

,

,























y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

 

бўлади. 

Бу  хоссаларнинг  исботи  бевосита  соннинг  абсолют  қиймати 

таърифидан  келиб  чиқади.  Улардан  бирини,    масалан   

y

x

y

x







 

бўлишини исботлаймиз.  

◄  Айтайлик,   

0





y

x

  бўлсин.  Унда 

y

x

y

x







  бўлади. 

y

y

x

x





,

 бўлишини эътиборга олиб топамиз:  

.

y

x

y

x

y

x











 

Энди 

0





y

x

 бўлсин.  

Унда 

)

(

)

(

)

(

y

x

y

x

y

x

















 

бўлади. 

y

y

x

x









,

 

бўлишини эътиборга олиб топамиз: 

y

x

y

x

y

x















)

(

)

(

. ► 

1-мисол. Ушбу 

x

x

x









1

2

1

3

                                (6) 

тенгсизлик  x  нинг қандай қийматларида ўринли бўлади? 

◄ Соннинг абсолют қиймати хоссасидан фойдаланиб топамиз:  

x

x

x

x

x















1

2

)

1

2

(

1

3

. 

Демак, (3) тенгсизлик ихтиёрий 

R

x



 учун ўринли бўлади. ► 

Барча  манфий  бўлмаган  ҳақиқий  сонлар  тўпламини 



R

  билан 

белгилайлик. Равшанки, 

R

R





. 

Ҳар бир 

R

x



 ҳақиқий сонга унинг абсолют қиймати  x  ни мос қўйиш 

билан ушбу  

)

:

(

:







R

R

f

x

x

f

 

акслантиришга эга бўламиз. 

Демак  ҳақиқий  соннинг  абсолют  қиймати  R   тўпламни 



R

  тўпламга 

акслантириш деб қаралиши мумкин. 

Ихтиёрий 

R

y

R

x





,

 сонларни олайлик. Ушбу 

y

x



 

миқдор    x   ва  y   нуқталар  орасидаги  масофа  дейилади  ва 

)

,

(

y

x

d

  каби 

белгиланади: 

y

x

y

x

d





)

,

(

. 

Масофа  қуйидаги хоссаларга эга: 

1) 

,

0

)

,

(

ва

0

)

,

(

y

x

y

x

d

y

x

d









 

2) 

),

,

(

)

,

(

x

y

d

y

x

d



 

3) 

).

(

),

,

(

)

,

(

)

,

(

R

z

z

y

d

y

x

d

z

x

d







 

4

0

.  Бернулли  тенгсизлиги.  Ньютон  биноми  формуласи.    Ихтиёрий 

1





x

 (

R

x



) ҳамда ихтиёрий 

N

n



 учун ушбу  

nx

x

n







1

)

1

(

                                (7) 

тенгсизлик ўринли. 

◄ Бу тенгсизликни математик индукция усули ёрдамида исботлаймиз. 

Равшанки, 

1



n

 да (7) тенгсизлик (тасдиқ) ўринли бўлади  

.

1

1

x

x







 

Энди 

N

n



  да  (7)  муносабат  ўринли  деб,  уни 

1



n

  учун  ҳам  ўринли 

бўлишини  кўрсатамиз.  (7)  тенгсизликнинг  ҳар  икки  томонини 

x



1

  га 

кўпайтириб топамиз: 

.

)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

1

x

n

nx

x

n

x

nx

x

n



























 

Математик  индукция  усулига  биноан  (4)  муносабат  ихтиёрий 

N

n



 

учун ўринли бўлади.► 

(7) тенгсизлик Бернулли тенгсизлиги дейилади. 

Энди Ньютон биноми формуласини келтирамиз.  

Маълумки, 

R

b

R

a





,

 да 

3

2

2

3

3

2

2

2

3

3

)

(

,

2

)

(

b

ab

b

a

a

b

a

b

ab

a

b

a



















 

бўлади.  Умуман,  ихтиёрий  

N

n



да  











































n

k

k

k

n

k

n

n

n

n

n

n

n

k

k

n

k

n

n

n

n

n

n

b

a

C

b

C

ab

C

b

a

C

b

a

C

a

C

b

а

0

1

1

1

1

0

...

...

)

(

          (8)                                      

бўлади,  бунда 

n

k

k

k

k

k

n

n

n

С

С

k

n

n

...,

2

,

1

,

...

3

2

1

!

,

!

))

1

(

)...(

1

(

1

0



















 

(8) тенглик ҳам математик индукция усули ёрдамида исботланади.  

◄ Равшанки, 

1



n

 да 

.

1

1

0

1

b

a

b

С

а

С











 Демак, бу ҳолда (8) тенглик 

ўринли.  Энди  (8)  тенглик  n   учун  ўринли  бўлсин  деб,  уни 

1



n

  учун  ҳам 

ўринли  бўлишини  кўрсатамиз.  (8)  тенгликнинг  ҳар  икки  томонини 

b

a



  га 

кўпайтириб топамиз: 

.

)

(

)

(

1

1

1

1

1

1































n

n

k

k

k

n

k

n

k

n

n

n

b

b

a

C

C

a

b

a

 

Равшанки,    

k

n

k

n

k

n

С

k

k

n

n

n

n

k

k

n

k

k

n

n

n

С

С

1

1

!

))

1

(

)

1

)...((

1

)

1

)((

1

(

)

)

1

(

(

!

))

2

(

)...(

1

(







































 

Демак, 















































1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

)

(

n

k

k

k

n

k

n

n

k

n

k

k

n

k

n

n

n

b

a

C

b

b

a

C

a

b

a

 

бўлади. Бу эса (5) тенглик 

1



n

 бўлганда ҳам бажарилишини кўрсатади. ► 

Одатда (5) тенглик Ньютон биноми формуласи дейилади.