2-маъруза. Diskret Furye o'zgartirish algoritmi

2-маъруза. Diskret Furye o'zgartirish algoritmi
FURYE (Fourier) Jan Batist Jozef — fransuz matematigi, Parij FA aʼzosi (1817). Oserdagi harbiy maktabni tugatgan, oʻsha maktabda, keyin Politexnika maktabida oʻqituvchi boʻlib ishlagan (1796—98). Dastlabki ilmiy ishlari algebraga doyr. Asosiy ilmiy ishlari matematik fizikaga oid.

Furye o’zgartirish (f)­­ – operatsiyasi moddiylik o’zgaruvchisini, boshqa funksiyaning moddiylik o’zgaruvchisiga solishtirish, bu yangi funksiya reja tuzishda boshlang’ich ajralish funksiyasini elimentar garmonika tebranishini har-xil chastotasi bilan amplituda kaefsentini tavsiflaydi[12].

diskret signali N ta nuqtali davrga ega bo‘lsin. Bu holda uni diskret sinusoidlarning yakuniy qatori (ya’ni chiziqli kombinatsiya) ko‘rinishida keltirish mumkin:

(2.1)

O‘xshash yozuv (har bir cosinusni sinus va kosinusga taqsimlaymiz, lekin endi – fazalarsiz):

(2.2)

Bazisli sinusoidlar karrali chastotalarga ega. Qatorning birinchi a’zosi – signalning doimiy tashkil etuvchisi deb ataluvchi konstanta. Eng birinchi sinusoidlar shunday chastotaga egaki, uning davri dastlabki signalning o‘zi bilan mos. Eng yuqori chastotali tashkil etuvchi shunday chastotaga egaki, uning dabri ikki hisobotga teng. A_k va B_k koeffitsienlari signal spektri deb ataladi.

Endi ko‘rib turganimizdek, har bir signal uchun A_k va B_k koeffitsientlarini aniqlash mumkin. Bu koeffitsientlarni bilgan holda har bir nuqtada Furye qatorining summasini hisoblagan holda dastlabki signalni tiklash mumkin. Signalni sinusoidlarga taqsimlanishi (ya’ni koeffitsientlarning olinishi) Furyening to‘g’ri o‘zgartirishi deb ataladi. Teskari jarayon – signalning sinusoidalar bo‘yicha sintezi – Furyening teskari o‘zgartirishi deb ataladi.

Furye teskari o‘zgartirish algoritm ochiq-oydin (u Furye qatorining formulasida mavjud; sintezni olib boorish uchun unga faqatgina koeffitsientlarni qo‘yib chiqish kerak). Furye to‘g’ri o‘zgartirishining algoritmini ko‘rib chiqamiz, ya’ni A_k va B_k koeffitsientlarning topilishi.

(2.3)

n argumentdan funksiya tizimi N davrli davrli diskret signallari fazosida orthogonal bazis hisoblanadi. Bu unda fazoning har qanday elementini taqsimlash uchun tizimning barcha funksiyalari bilan elementning skalyar ko‘paytmalarini hisoblab, va olingan koeffitsientlarni normallashtirish degani. Shunda dastlabki signal uchun A_k va B_k koeffitsientlar bilan bazis bo‘yicha taqsimlash formulasi haqiqiy bo‘ladi.

Shunday qilib, A_k va B_k koeffitsientlari skalyar ko‘paytmalar sifatida hisoblanadi (uzluksiz holatda – funksiyalar ko‘paytmasidan integrallar, diskret holatda – diskret signallar ko‘paytmasi summalari):

(2.4)

Savol paydo bo‘ladi: nima uchun dastlabki signalda N sonlar, N+2 koeffitsientlar yordamida yoziladi? Savolga javob quyidagicha bo‘ladi: B_{0 ­}va B_N/2 koeffitsientlari har doim nolga teng (chunki ularga mos keluvchi “bazisli” signallar diskret nuqtalarda ayniy ravishda nolga teng), va ularni Furyening to‘g’ri va teskari o‘zgartirishini hisoblashda tashlab yuborish mumkin.

Hozirgacha biz haqiqiy signallardan DFO‘ ko‘rib chiqayotgan edik. Endi DFO‘ ni kompleksli signallar holati bilan birlashtiramiz. x[n], n=0,…,N-1– N kompleks sonlardan tashkil topgan dastlabki kompleksli signal bo‘lsin. X[k], k=0,…N-1 belgilaymiz – uning kompleksli spektri, shuningdek N kompleks sonlardan tashkil topgan. Shunda Furye to‘g’ri va teskari o‘zgartirishining quyidagi formulalari haqiqiy.

(2.5)

Agar bu formulalar bilan spektrga haqiqiy signal taqsimlansa, unda birinchi N/2+1 spektrning kompleksli koeffitsientlari “kompleksli” ko‘rinishda keltirilgan “oddiy” haqiqiy DPF spektr bilan mos tushadi, qolgan koeffitsientlar esa diskretizatsiya chastotasining yarmiga nisbatan ularning simmetrik aksi bo‘ladi. kosinusli koeffitsientlar aksi juft, sinuslar uchun esa – toq.[12]