2-mavzu. Muvozanat holat. O’yining quyi va yuqori baholari. Optemal aralash strategiyalar. Reja

		...
			…
			…
...	…	…	…	…
			…

To’lovlar matrisasining har bir musbat elementi mos strategiyalar qo’llanilganda I o’yinchining yutug’i (yoki II o’yinchining yutqazig’i) miqdorini bildiradi. Matrisaning har bir manfiy elementi esa mos strategiyalar qo’llanilganda I o’yinchining yutqazig’i (yoki II o’yinchining yutug’i) miqdorini bildiradi. Ikkala o’yinchining ham maqsadi – o’z yutug’ini maksimallashtirishdan (yoki o’z yutqazig’ini minimallashtirishdan) iborat.

1-misol. O’yinda I va II o’yinchilar ishtirok qiladilar. O’yinchilardan har biri boshqasidan bexabar holda 1, 2 yoki 3 ta barmog’ini ko’rsatishi mumkin. Agar I va II o’yinchilar ko’rsatgan barmoqlar soni o’rtasidagi ayirma musbat bo’lsa, I o’yinchi shu sonlar ayirmasi qadar ochko yutadi va aksincha, agar ayirma manfiy bo’lsa, II o’yinchi shuncha yutadi. Agar sonlar o’rtasidagi ayirma nol bo’lsa, o’yin durang bilan tugaydi.
O’yinda har bir o’yinchining uchtadan shaxsiy yurishi bor. I o’yinchi strategiyalari: – 1 ta barmoqni ko’rsatish, – 2 ta barmoqni ko’rsatish, – 3 ta barmoqni ko’rsatish. II o’yinchining (ya’ni, I o’yinchi raqibining) strategiyalari esa, – 1 ta, – 2 ta, – 3 ta barmoqni ko’rsatishdan iborat. O’yinchilarning ular tegishli strategiyalarni qo’llaganlardagi yutuqlarini to’lov matrisasi (2-jadval) ko’rinishida yozib qo’yamiz.

2-jadval

II I
	0	-1	-2
	1	0	-1
	2	1	0

Bu matrisa elementlari qanday hosil qilinganligini ko’ramiz. Agar I o’yinchi strategiyasini, II o’yinchi strategiyasini qo’llasa, u vaqtda I o’yinchi ikki ochko yutqazadi. Bu yutqazish to’lov matrisasida birinchi satr va uchinchi ustunlar kesishishidagi (1;3) katakka yozilgan ( ). Agar I o’yinchi strategiyasini, raqib esa strategiyani qo’llasa, u holda I o’yinchi bir ochko yutadi. To’lov matrisasida bu yutuq (2;1) katakka musbat ishora bilan yozib qo’yilgan ( ). Jadvalning boshqa elementlari ham shu tariqa hosil qilingan.

To’lov matrisasi 1-jadvalda keltirilgan – o’yinni qaraymiz. Masala strategiyalar orasidan I o’yinchining eng yaxshi strategiyasini, strategiyalardan esa II o’yinchining eng yaxshi strategiyasini topishdan iborat. Bu masalani yechishda o’yinda ishtirok etuvchi raqiblar bir xil aql-idrokka ega va ulardan har biri o’z maqsadiga erishish uchun hamma chora-tadbirlarni ko’radi deb hisoblaymiz. Bu tamoyildan foydalanib I o’yinchining eng yaxshi strategiyasini topamiz. Buning uchun uning hamma strategiyalarini ketma-ket tahlil qilamiz. I o’yinchi o’zining strategiyasini tanlaganda biz unga II o’yinchi o’zining I o’yinchi yutug’ini minimallashtiruvchi strategiyasi bilan javob beradi deb hisoblashimiz kerak. Shunga ko’ra to’lov matrisasining har bir satridagi sonlardan minimalini topamiz va uni , bilan belgilab, to’lov matrisasining yonida qo’shimcha ustunga yozib qo’yamiz:
. (1)
sonlarni bilgan I o’yinchi o’zining strategiyalaridan shundayini tanlaydiki, bu unga eng katta yutuq bersin. Bu maksimal yutuqni deb belgilaymiz, ya’ni . Shunday qilib, (1) ni hisobga olsak, hosil bo’ladi.
soni I o’yinchining kafolatli yutug’i bo’lib, o’yinning quyi bahosi (maksimini) deb ataladi. O’yinning quyi bahosi ni ta’minlovchi strategiya maksimin strategiya deb ataladi. Agar I o’yinchi o’zining maksimin strategiyasiga amal qilsa, II o’yinchi qanday yo’l tutishidan qa’tiy nazar, unga dan kam bo’lmagan yutuq ta’minlanadi.
II o’yinchi o’z yutqazig’ini kamaytirishga, ya’ni I o’yinchi yutug’ini minimumga aylantirishga harakat qiladi. Shu sababli o’zining eng yaxshi strategiyasini tanlab olish uchun u to’lov matrisasi ustunlarining har biridagi maksimal sonni topishi va bu qiymatlar orasidan eng kichigini tanlab olishi kerak.
Har bir ustundagi maksimal elementni deb belgilaymiz va bu elementlarni 3-jadvalning qo’shimcha satriga yozib qo’yamiz. lar orasidan eng kichik qiymatlisini deb belgilaymiz. - o’yinning yuqori bahosi (minimaksi) bo’lib, u formula bo’yicha topiladi.
II o’yinchiga “yutuqni” ta’minlaydigan strategiya uning minimaks strategiyasi deb ataladi. Agar II o’yinchi o’zining minimaks strategiyasiga amal qilsa, har qanday holda ham uning yutqazig’i dan oshmaydi.
3-jadval