2-mavzu. Muvozanat holat. O’yining quyi va yuqori baholari. Optemal aralash strategiyalar. Reja

		...
			…
			…
...	…	…	…	…	...
			…
			...

O’yinning quyi va yuqori baholari uchun , tengsizlikning hamisha o’rinli, ya’ni ekanligini ko’rsatish mumkin.

2. O’yinning egar nuqtasi. Sof strategiyalar

Quyi va yuqori baholari o’zaro teng, ya’ni bo’lgan o’yinlar mavjud. Bunday o’yinlar egar nuqtali o’yinlar deb ataladi. Egar nuktali o’yilarda yuqori va quyi baholarining umumiy qiymati o’yining sof bahosi, bu qiymatga erishishni ta’minlovchi va strategiyalar esa optimal strategiyalar deyiladi.

Optimal strategiyalarning ( ) jufti matrisaviy o’yinning egar nuqtasi (muvozanat vaziyati) deb ataladi. To’lovlar matrisasida shu egar nuqtaga mos element bir vaqtning o’zida - satrda minimal, - ustunda maksimaldir.
2-misol. To’lov matrisasi 2-jadvalda keltirilgan o’yinning yechimini topamiz. Shu jadvalga mos va larning kiymatlarini topib, ular yordamida 4-jadvalni hosil qilamiz.
4- jadval

II I
	0	-1	-2	-2
	1	0	-1	-1
	2	1	0	0
	2	1	0

O’yinning quyi bahosi

.
O’yinning yuqori bahosi
.
bo’lgani uchun o’yin egar nuqtaga ega. O’yinning sof bahosi . Optimal strategiyalar: I o’yinchining strategiyasi va II o’yinchining strategiyasi. Egar nuqta esa ( , ) bo’ladi.
3- misol. To’lov matrisasi 5-jadvalda keltirilgan o’yinning yechimi topilsin.
va larning qiymatlarini topamiz va ularni 5-jadvalga kiritamiz.
5- jadval

II I
	6	5	8	5	5
	7	3	2	3	2
	6	5	7	5	5
	7	5	8	5

O’yinning quyi va yuqori baholarini topamiz:

.
va ning qiymatlaridan ko’rinib turibdiki, o’yinda optimal strategiyalarning , , juftlariga mos to’rtta egar nuqta mavjud. O’yinning sof bahosi


Muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   O’yin vaziyatini sifat jihatidan aks ettiruvchi masalani qo’ying va uning matematik modelini tuzing.
   
2. 
   1-topshiriqda qo’yilgan o’yin masalasida tomonlarni, ularning sonini, o’yin xarakterini va o’yinchilar strategiyalarini aniqlang.
   
3. 
   O’yinda I va II o’yinchilar ishtirok qiladilar. O’yinchilardan har biri boshqasidan bexabar holda 1, 2 yoki 3 ta barmog’ini ko’rsatishi mumkin. Agar I va II o’yinchilar ko’rsatgan barmoqlar soni yig’indisi juft bo’lsa, I o’yinchi shu yig’indiga teng ochko yutadi va aksincha, agar yig’indi toq bo’lsa, II o’yinchi shuncha ochko yutadi.Shu o’yinda:
   

a) tomonlarning strategiyalari va ularga mos yutuqlarini aniqlang;
b) o’yinchilarning minimaks va maksimin strategiyalarini toping.

4. 
   To’lovlar matrisasi quyidagicha bo’lgan o’yinda quyi va yuqori baholarni toping va egar nuqta (muvozanat vaziyati) mavjudligini tekshiring:
   

.


Mustaqil ishlash uchun savollar

1. 
   O’yinlar nazariyasi nima bilan shug’ullanadi. O’yinlarning turlari.
   
2. 
   Nol yig’indili o’yin. Strategiya, optimal strategiya tushunchalari.
   
3. 
   Matrisaviy o’yin, to’lovlar matrisasi, minimaks va maksimin strategiyalar.
   
4. 
   O’yinning quyi va yuqori baholari, sof baho, sof optimal strategiyalar.
   
5. 
   Quyidagi to’lovlar matritsasi bilan berilgan o’yinda muvozanat vaziyati (egar nuqta) bor yoki yo’qligini tekshiring, bor bo’lsa egar nuqtani va maksimin, minimaks strategiyalarni toping.
   

1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) 18)
19) 20)
21) 22)
23) 24)
25) 26)
27) 28)
29) 30)
31) 32)


Mavzuni mustahkamlash uchun tavsiya etiladigan adabiyotlar
1. Вагнер Г. Основы исследований операции. Т. 1–3. М.: Мир. 1972-73.
2. Зайченко Ю. Б. Исследование операций. Киев. 1979.
3. Таха Х. Введение в исследование операций. Т. 1, 2. М.: Мир. 1981.
4. Дюбин Г. Н., Суздал В. Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981.