2-ta’rif a to‘plamning har bir elementi b to‘plamda mavjud, aksincha, b to‘plamning har bir elementi a to‘plamda ham mavjud bo‘lsa, va a va b to‘plamlarni teng (tengkuchli) deb atab, buni A=B yoki B=A belgi bilan ifodalaymiz. 3-ta’rif

2- teorema (Eyler 1752). Tekis va bog‘lamli G= (V,U) graf uchun m+r=2+n tenglik o‘rinlidir, bu yerda m=|V| , n=|U| , r – yoqlar soni.
3-teorema. K5 graf planar emas.
4-teorema. K3,3 graf planar emas.
5-teorema. Agar biror graf K5 yoki K3,3 grafga gomeomorf bo‘lgan qism grafga ega bo‘lsa, u holda bu graf tekislikda yotuvchi bo‘lmaydi.
7-teorema (Pontryagin-Kuratovskiy). Graf planar bo‘lishi uchun u K5 yoki K3,3 grafga gomeomorf qism graflarga ega bo‘lishi zarur va yetarlidir.
15-MAVZU. Eyler va Gamilton graflari
Ta’rif. Turli qirralardan tashkil topgan marshurt zanjir deyiladi. Ta’rif. Boshi va ohiri ustma-ust tushuvchi zanjir yopiq zanjir deyiladi. Ta’rif. Hech bo`lmaganda bitta qirraga ega yopiq zanjir sikl deyiladi. Ta’rif. Agar zanjir grafning barcha uchlaridan bir martadan o`tsa, bunday zanjirga gamilton zanjiri deyiladi. Ta’rif. Grafning barcha qirralaridan bir martadan o`tgan zanjir eyler zanjiri deyiladi. Ta’rif . Iхtiyoriy ikkita uchini marshrut bilan birlashtirish mumkin bo`lgan graf bog`liq graf deyiladi. Ta’rif. Grafning barcha uchlaridan o`tuvchi karrali qirralar va ilmoqlarga ega bo`lmagan graf eyler grafi deyiladi. Ta’rif. Agar bog`liqli grafda har bir uchdan faqat bir martadan o`tuvchi tsikl (yoki marshrut) mavjud bo`lsa, bunday graf gamilton grafi deyiladi. Grafning har bir qirrasidan faqat bir marta o’tadigan zanjir Eyler zanjiri deb ataladi. Yopiq Eyler zanjiriga (yani Eyler sikliga) ega graf Eyler grafi deb ataladi. Agar grafda yopiq bo’lmagan Eyler zanjiri topilsa, u holda bunday graf yarim Eyler grafi deb ataladi. Teorema Bog‘lamli graf Eyler grafi bo‘lishi uchun undagi barcha uchlarning darajalari juft bo‘lishi zarur va yetarlidir. Har bir yoydan faqat bir marta o’tadigan yo’l oriyentirlangan Eyler yo‘li deb ataladi. Grafning har bir uchidan faqat bir marta o’tadigan zanjir Gamilton zanjiri deb ataladi. Yopiq Gamilton zanjiriga (ja‟ni Gamilton sikliga) ega graf Gamilton grafi deb ataladi. Agar grafda yopiq bo’lmagan Gamilton zanjiri topilsa, u holda bunday graf yarim Gamilton grafi deb ataladi. Teorema(Dirak) Uchlari soni uchtadan kam bo‘lmagan grafdagi istalgan uchning darajasi uchlar sonining yarmidan kam bo‘lmasa, bu graf Gamilton grafi bo‘ladi. Isboti . Uchlari soni m  3 bo’lgan graf berilgan bo’lsin. Bu grafning istalgan v uchi uchun shart bajarilsada, u Gamilton grafi bo’lmasin deb faraz qilamiz. Teorema Agar uchlari soni m ga ( m  2 ) teng bo‘lgan grafdagi qo‘shni bo‘lmagan ixtiyoriy uchlar darajalari yig‘ndisi m dan kam bo‘lmasa, u holda bu graf Gamilton grafi bo‘ladi.