2 ва 3- тартибли детерминантлар

Determenantlar 2 va 3 tartibli matritsa va determinatlar
R ye j a:


1. Ikki noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi va ikkinchi tartibli determinantlar.
2. 3 noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi va 3-tartibli determinantlar.
3. Urniga kuyishlar gruppasi.
4. Juft va tok urniga kuyishlar.

1. Faraz etaylik bizga

a₁₁x₁ ka₁₂ x₂ k b₁ (1) a₂₁ a₂₂
a₂₁x₁ ka₂₂ x₂ k b₂ -a₁₁ - a₁₂
chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bulsin. (1) ni x₁ va x₂ ga nisbatan yechsak
b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂ b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁
x₁k  , x₂k  (2)
a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁
lar xosil kilamiz. Bu yerda maxraj
dk a₁₁ a₂₂ -a₁₂a₂₁ k (3)
kurinishda belgilanib (3)ga ikkinchi tartibli determinant deyiladi. Demak, ikkinchi tartibli determinantni xisoblash uchun uning bosh diagonalidagi elementlari kupaytmasidan ikkinchi diagonalidagi elementlari kupaytmasini ayirish kerak ekan. (2) ning suratidagi ifodalarni xam ikkinchi tartibli determinant kurinishda yozish mumkin:
d₁k b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂k , d₂k b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁ k
Bulardan foydalanib (2) ni
x₁k d₁ / d , x₂k d₂ / d (4)
kurinishda yozish mumkin. (4) ga (1) sistemani yechish uchun Kramer formulasi deyiladi.
Misol.
sistemani Kramer formulalari yordamida yeching.
Bu yerda .
Demak, (4) ga kura x₁k -5 /( -5) k 1 va x₂k -5 / (-5) k1.
Javobi: x₁ k 1 va x₂k 1.
2.Endi faraz kilaylik 3 ta noma’lumli

chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bulsin. (5)ni x₁ ,x₂ , x₃ larga nisbatan yechamiz. Buning uchun uning birinchi tenglamasini a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ ga ikkinchisini a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ ga va uchinchisini a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ ga kupaytirib ksshamiz. U xolda
b₁ a₂₂ a₃₃ k b₂ a₁₃ a₃₂ k b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂
x₁k  . (6)
a₁₁ a₂₂ a₃₃ k a₂₁ a₁₃ a₃₂k a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂
Buning maxrajini
dk a₁₁ a₂₂ a₃₃ k a₂₁ a₁₃ a₃₂k a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ k
k
deb belgilab olsak , (7) ga 3- tartibli determinant deyilali. (7) ning chap tomonidan uni xisoblash koidasi kelib chikadi:

Osonlik bilan kurish mumkinki, agar (7) da 1-ustun elementlari a₁₁ , a₂₁ ,a₃₁ ni mos ravishda b₁ ,b₂ ,b₃ lar (ozod xadlar ustuni) bilan almashtirsak (6) ning surati xosil buladi, ya’ni (7) dan
b₁ a₁₂ a₁₃
d₁k b₂ a₂₂ a₂₃ k b₁ a₂₂ a₃₃ k b₂ a₁₃ a_{3 2} kb₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ -
b₃ a₃₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂ . (8)



(7) va (8) ga asosan (6) ni kuyidagicha yoza olamiz: x₁k d₁ / d. Xuddi shuningdek, (5) ni x₂ va x₃ ga nisbatan yechsak x₂k d₂ / d , x₃k d₃ / d larni xosil kilamiz. Bu yerda
a₁₁ b₁ a₁₃ a₁₁ a₁₂ b₁
d₂k a₂₁ b₂ a₂₃ , d₃ k a₂₁ a₂₂ b₂
a₃₁ b₃ a₃₃ a₃₁ a₃₂ b₃ .
Misolar. 1).
2). chizikli tenglamalar sistemasini yeching.
Shuning uchun xam xk4/4k1, yk2/4k1/2; zk2/4k-1/2.
Javobi: (1, 1/2, 1/2).
3.Urniga kuyishlar gruppasi. Faraz etaylik, bizga n ta elementga ega bulgan A tuplam berilgan bulsin. Bu tuplam elementlarini 1,2,...,n lar bilan nomerlab chikaylik. U xolda A ni Ak{ 1,2,3,...,n} deb yozish mumkin.
1-ta’rif. A tuplamni uziga biyektiv (uzaro bir kiymatli) akslantirishga urniga kushish deyiladi.
Tushunarliki karalayotgan tuplamda n! ta urniga kuyish mavjud. Bundan keyin biz s urniga kuyishda 1, 2, 3, ... , n elementlarning mos ravishda i₁ ,i₂ , ... , i_n elementlarga utishini kurinishda belgilaymiz. Agar va urniga kuyishlar berilgan bulib i_k k j_k (kk 1,2,..., n) tenglik bajarilsa s va t urniga kuyishlarga teng deyiladi va sk t kurinishda yoziladi. ga ayniy urniga kuyish deyiladi.
n ta elementdan tuzilgan A tuplamdagi barcha urniga kuyishlar tuplamini S_n bilan belgilaymiz. S_n dagi ikkita s va t urniga kuyishning kupaytmasi deb avvalo s keyin esa t urniga kuyishni bajarish natijasida xosil bulgan urniga kuyishga aytishga kelishamiz.
Masalan: bulsin.
U xolda buladi.
1 - teorema.  S_n ;  - multiplikativ gruppa buladi.
Isboti. Gruppa ta’rifidagi shartlarning bajarilishini tekshiraylik.
1)  s,t S_n  s t S_n bajariladi;
2)  s,t,l S_n  s (t l)k(s t) l buladi, chunki agar
bulsa, bu tenglik bulib, uning chap tomoni
ung tomoni xam dan iborat
3) bulib  s S_n uchun s eks bajariladi.
4) ga teskarisi buladi, chunki ss ^-1 k e.
Shunday kilib gruppa ta’rifidagi barcha shartlar bajariladi.  S_n ;   gruppaga n-tartibli simmetrik gruppa deb yuritiladi.
Agar urniga kuyishda i₁ < i₂ < i₃ < . . .< i_n bulsa, u inversiyaga ega emas deyiladi, aks xolda inversiyaga ega deyiladi.
Masalan: da inversiyalar soni 1 uchun 1 ta, 2 uchun 2 ta , 3 uchun 1 ta, 4 uchun 0 ta, jami 4 ta inversiya bor.
Berilgan urniga kuyishdagi inversiyalar soni juft bulsa, unga juft urniga kuyish, agarda inversiyalar soni tok bulsa , u xolda tok urniga kuyish deyiladi .
Urniga kuyishdagi istalgan 2 ta elementning urnini almashtirishga transpozisiya deyiladi.
Agar i_k va i_l larning urni almashtirilsa, u (i_k , i_l ) kurinishda belgilanadi.
2- teorema. Transpozisiya natijasida urniga kuyishlarning juft-tokligi uzgaradi.
Isboti.
,
transpozisiya natijasida xosil kilingan bulsin. U xolda i_k ni i_l dan oldinga utkazish uchun l-(k-1) ta inversiya bajarish kerak. Undan keyin i_l ni joyiga (ya’ni i_l-1 dan keyingi joyga ) kuyish uchun l-(k-1)-1 ta inversiya, jami l-kk1kl-kk1-1k2(l-k)k1 ta inversiya bajarish kerak.
3-teorema. n! ta urniga kuyishlarning yarmi n! / 2 tasi juft va kolgan yarmi n!/2 tasi tok buladi.
Isboti. Agar n! ta urniga kuyishlardagi juftlari soni p, toklari soni q bilan belgilasak, pkqkn! buladi. Endi agar barcha n! ta urniga kushishlarda transpozisiya bajarsak, u xolda juftlar toklarga,toklari esa juftlarga utadi, ya’ni pkq, demak, pkn!/2 va qkn!/2.
4-teorema. Juft urniga kushishlar tuplami S*_n kupaytirishga nisbatan gruppa xosil kiladi.
Buning isboti kat’iy keltirishni talabalarga xavola kilamiz.< S*_n; . > da birlik element ayniy kushish buladi. t ga teskarisi t^-1 S*_n buladi.
Natija. Tok urniga kushishlar tuplami kupaytirishga nisbatan gruppa bulmaydi.
Bunda birlik element mavjud emas.
Misol .
ni karaylik . S₃ k{ f₀ , f₁ , f₂ , f₃ , f₄ , f₅ } deb belgilab olsak, kuyidagi jadvalga ega bulamiz. Bu jadvalda birlik element ek f₀ , f₁ ga teskarisi f₂ ; f₂ ga teskarisi f₁ ; f₃ ga teskarisi f₃ ; f₄ ga teskarisi f₄ ; f₅ ga teskarisi f₅ . Shuningdek gruppaning barcha shartlari bajariladi, ya’ni S₃ ;   - multiplikativ gruppa buladi.

.	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f0	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f1	f1	f2	f0	f4	f5	f3
f2	f2	f0	f1	f5	f3	f4
f3	f3	f5	f4	f0	f2	f1
f4	f4	f3	f5	f1	f0	f4
f5	f5	f4	f3	f2	f1	f0