20-amaliy mashg`ulot Formula ta’rifi. Teng kuchli formulalar. Asosiy teng kuchli formulalar

Asosiy teng kuchliliklar.
Bu paragrafda oddiy algebrada ma’lum bo‘lgan ayrim ayniyatlarga o‘xshash mantiqiy teng kuchliliklarini va teng kuchli formulalarga doir ayrim teoremalarni keltiramiz.
Ma’lumki, haqiqiy sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amali uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinlidir:
1) ixtiyoriy ikkita va sonlar uchun bo‘ladi (qo‘shishning kommutativlik qonuni);
2) ixtiyoriy uchta , va sonlar uchun bo‘ladi (qo‘shishning assotsiativlik qonuni);
3) ixtiyoriy ikkita va sonlar uchun bo‘ladi (ko‘paytirishning kommutativlik qonuni);
4) ixtiyoriy uchta , va sonlar uchun bo‘ladi (ko‘paytirishning assotsiativlik qonuni);
5) ixtiyoriy uchta , va sonlar uchun bo‘ladi
(ko‘paytirishning yig‘indiga nisbatan distributivlik qonuni).
Mulohazalar algebrasida bu ayniyatlarga o‘xshash, ixtiyoriy mantiqiy , va o‘zgaruvchilar uchun quyidagi teng kuchliliklar o‘rinlidir:
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
. (5)
Bu teng kuchliliklarning to‘g‘riligini tekshirish uchun chinlik jadvalidan foydalanish mumkin. Yuqoridagi (1) – (4) teng kuchliliklarning to‘g‘riligini tekshirishni o‘quvchiga havola qilib, faqat (5) teng kuchlilikning to‘g‘riligini tasdiqlaydigan chinlik jadvalini keltirish bilan kifoyalanamiz (1- jadvalga qarang). (1) – (4) teng kuchliliklardan ko‘rinib turibdiki, diz’yunksiya va

1- jadval
yo	yo	yo	yo	yo	yo	yo	yo
yo	yo	ch	ch	yo	yo	yo	yo
yo	ch	yo	ch	yo	yo	yo	yo
yo	ch	ch	ch	yo	yo	yo	yo
ch	yo	yo	yo	yo	yo	yo	yo
ch	yo	ch	ch	yo	ch	ch	ch
ch	ch	yo	ch	ch	yo	ch	ch
ch	ch	ch	ch	ch	ch	ch	ch

kon’yunksiya mantiqiy amallari, oddiy algebradagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari kabi, kommutativlik va assotsiativlik xossalariga egadir.

Mulohazalar algebrasida, oddiy algebradan farqli o‘laroq, kon’yunksiyaning diz’yunksiyaga nisbatan distributivlik xossasi ((5) teng kuchlilik) bilan bir qatorda diz’yunksiyaning kon’yunksiyaga nisbatan distributivlik xossasi ham o‘rinlidir. Diz’yunksiyaning kon’yunksiyaga nisbatan distributivlik xossasini ifodalovchi
(6)
teng kuchlilikning to‘g‘riligini 2- chinlik jadvali tasdiqlaydi.
Shuni ta’kidlash kerakki, oddiy algebrada (6) teng kuchlilikka o‘xshash tenglik ayniyat bo‘lmaydi, ya’ni

tenglik ixtiyoriy , va sonlar uchun bajarilmasligi mumkin.

2- jadval
yo	yo	yo	yo	yo	yo	yo	yo
yo	yo	ch	yo	yo	ch	yo	yo
yo	ch	yo	yo	ch	yo	yo	yo
yo	ch	ch	ch	ch	ch	ch	ch
ch	yo	yo	yo	ch	ch	ch	ch
ch	yo	ch	yo	ch	ch	ch	ch
ch	ch	yo	yo	ch	ch	ch	ch
ch	ch	ch	ch	ch	ch	ch	ch

Yuqorida ifodalangan o‘xshashliklar asosida kon’yunksiya amali iborasi o‘rnida mantiqiy ko‘paytma amali iborasi, diz’yunksiya amali iborasi o‘rnida esa mantiqiy yig‘indi amali iborasi ham qo‘llaniladi¹.
Mulohazalar algebrasini oddiy algebra bilan qiyoslashda davom etib teng kuchlilik o‘rinliligini eslatamiz². Bu teng kuchlilik berilgan va mulohazalarning ekvivalensiyasi ikkita va implikatsiyalarning kon’yunksiyasi shaklida ifodalanishi mumkinligini anglatadi. Boshqacha qilib aytganda, ekvivalensiya ( ) belgisini implikatsiya ( ) va kon’yunksiya ( ) belgilari vositasida ifodalash mumkin. Oddiy algebrada esa, hech qanday almashtirish yordamida tenglik ( ) belgisini arifmetik amallar (qo‘shish ( ), ayirish ( ), ko‘paytirish ( ), bo‘lish ( )) vositasida ifodalab bo‘lmaydi.
Endi implikatsiyani boshqa mantiqiy amallar vositasida ifodalash masalasi bilan shug‘ullanamiz. 3- chinlik jadvalidan ko‘rinib turibdiki, va
formulalar teng kuchlidir.

3- jadval
yo	yo	ch	ch	ch
yo	ch	ch	ch	ch
ch	yo	yo	yo	yo
ch	ch	yo	ch	ch

Demak, (1) – (6) teng kuchliliklar qatoriga yana bitta
(7)
teng kuchlilik qo‘shiladi. (7) teng kuchlilik implikatsiya ( ) belgisini inkor ( ) va diz’yunksiya ( ) belgilari vositasida ifodalash mumkinligini anglatadi.
Yuqoridagi mulohazalar asosida , , , , belgilar ishtirok etgan ixtiyoriy mantiqiy ifodani (formulani) faqat , , belgilar qatnashgan teng kuchli mantiqiy ifoda (formula) bilan almashtirish mumkin degan xulosaga kelamiz. Ravshanki, bunga o‘xshash xulosani oddiy algebrada tasdiqlash mumkin emas. Ixtiyoriy mantiqiy ifodani faqat , , belgilar qatnashgan teng kuchli mantiqiy ifoda bilan almashtirish mumkinligi mulohazalar algebrasining ko‘plab amaliy tatbiqlarga egaligidan darak beradi.
Mantiqiy ifodada ishtirok etuvchi belgisini va belgilari orqali hamda belgisini va belgilari orqali ifodalash mumkin. Bu tasdiq ikki karra inkorni o‘chirish qonuni va de Morgan qonunlari deb ataluvchi teng kuchliliklarga asoslanadi. Ikki karra inkorni o‘chirish qonuni
, (8)
de Morgan qonunlari esa
, (9)
(10)
teng kuchliliklar bilan ifodalanadi. Bu qonunlarning o‘rinliligi esa chinlik jadvallari yordamida osongina tekshiriladi.
Mantiqiy ifodada ishtirok etuvchi belgisini va belgilari orqali ifodalash uchun
(11)
va, shunga o‘xshash, belgisini va belgilari orqali ifodalash uchun
(12)
teng kuchliliklardan foydalaniladi. (11) va (12) teng kuchliliklarni isbotlashni o‘quvchiga havola qilamiz.
Shunday qilib, mulohazalar algebrasining ixtiyoriy mantiqiy ifodasini unga teng kuchli va tarkibida mantiqiy amal belgilari sifatida faqat va yoki faqat va belgilar qatnashgan mantiqiy ifoda bilan almashtirish mumkin. Shunga o‘xshash, mulohazalar algebrasining ixtiyoriy mantiqiy ifodasini unga teng kuchli va tarkibida mantiqiy amal belgilari sifatida faqat va belgilar qatnashgan mantiqiy ifoda bilan almashtirish imkoniyati borligini ko‘rsatish mumkin.
Shuni ta’kidlash kerakki, mulohazalar algebrasining ixtiyoriy mantiqiy ifodasini unga teng kuchli va tarkibida mantiqiy amal belgisi sifatida faqatgina Sheffer shtrixi bo‘lgan mantiqiy ifoda bilan almashtirish imkoniyati ham bor. Bu tasdiq, mulohazalar algebrasining ixtiyoriy mantiqiy ifodasini unga teng kuchli va tarkibida mantiqiy amal belgilari sifatida faqat va belgilar qatnashgan mantiqiy ifoda bilan almashtirish mumkinligi hamda
,
teng kuchliliklarga asoslanadi. Sheffer amali ta’rifidan foydalanib, chinlik jadvali yordamida, yuqoridagi ikkita va quyidagi uchta teng kuchliliklarning o‘rinliligini osongina tekshirish mumkin:
, , .
Bu uchta teng kuchliliklar oldingi ikkita teng kuchliliklar bilan birgalikda yuqorida ifodalangan mulohazalar algebrasining ixtiyoriy mantiqiy ifodasini unga teng kuchli va tarkibida mantiqiy amal belgisi sifatida faqatgina Sheffer shtrixi bo‘lgan mantiqiy ifoda bilan almashtirish mumkinligi haqidagi tasdiqning to‘g‘riligiga yana bir asosdir.