20 мавзу: Функционал қаторлар. Даражали қаторлар. Функцияларни даражали қаторга ёйиш Режа Функционал қатор тушунчаси

20 мавзу: Функционал қаторлар. Даражали қаторлар. 

Функцияларни даражали қаторга ёйиш 

Режа 

1.  Функционал қатор тушунчаси. 

2.  Даражали қаторларни яқинлашиш соҳаси. 

3.  Функцияларни даражали қаторга ёйиш. 

1-таъриф. Ҳадлари функциялардан иборат бўлган қаторларга 

функционал қатор дейилади.  

Яъни,  

 - кўринишдаги қаторларга айтилади. 

Масалан,  

  ва 

                    

  

функционал қаторлар бўлади. 

Функционал қаторлар ичида қуйидагича таърифланадиган 

қаторлар алоҳида ўрин тутади. 

2-таъриф. 

  

кўринишдаги  функционал  қаторга  даражали  қатор  дейилади.  Бу 

ерда 

 - даражали  қатор коэффицентлари дейилади. 

Масалан, 

  ва 

  даражали қаторлардир. 

Қатор  учун  асосий    масала  унинг  яқинлашувчи  ёки 

узоқлашувчи  эканлигини  аниқлаш,  бу  ҳолда    сонли  қаторникидан 

фарқлидир.  Даражали  қаторнинг  яқинлашуви  ёки  узоқлашувчи 

бўлишига   ўзгарувчининг қандай қиймат қабул қилишга бевосита 

боғлиқ бўлади. 

3-таъриф.  Агар 

  қатор 

  бўлганда  яқинлашса,  у 

ҳолда бу даражали қатор  

 нуқтада яқинлашувчи дейилади.  

 

 

 















1

1

n

n

n

n

x

f

a

















x

x

x

x

n

n

3

2

1

ln

ln

ln

ln















1

2

2

2

3

3

sin

2

2

sin

sin

sin

n

x

x

x

n

x

n



















1

2

1

0

n

n

n

n

n

x

a

x

a

a

x

a





n

a

 





















1

4

3

2

1

4

3

2

1

n

n

n

x

x

x

x

x

n



























1

6

4

2

1

2

1

8

4

2

1

2

n

n

n

x

x

x

x



x







1

n

n

n

x

a

1

x

x



1

x

x



 

4-таъриф. 

 

ўзгарувчининг 

 

даражали  қатор 

яқинлашадиган  барча  қийматлари  тўпламига  даражали  қаторнинг 

яқинлашиш соҳаси дейилади ва 

 билан белгиланади. 

1-мисол. Ушбу 

 

даражали қатор   ўзгарувчининг (-1, 1) оралиқдан олинган ҳар бир 

қийматида  чексиз  камаювчи  геометрик  прогрессия  йиғиндиси 

сифатида яқинлашувчи бўлади. Демак, бу қатор учун 

. 

Таъкидлаш 

лозимки, 

ихтиёрий 

даражали 

қаторнинг 

яқинлашиш  соҳаси  бўш  тўплам  бўлмайди,  чунки  ҳар  қандай 

даражали қатор ҳеч бўлмаганда 

 да чекли йиғиндига эга. 

1-теорема  (Абель  теоремаси).  Агар 

  даражали  қатор 

бирор 

  да  яқинлашса,  у  ҳолда  бу  қатор 

    шартни 

қаноатлантирувчи барча   ларда ҳам яқинлашувчи бўлади. 

Исбот. Бу ерда 

  деб  караш  керак.    Чунки 

  бўлса,  

бўлса,  шартни қаноатлантирувчи тўплам бўш тўпламдир. 

Теорема  шартига  кўра 

  сонли  қатор  яқинлашувчи. 

Қатор яқинлашишининг зарурий  шартига асосан 

. 

У  ҳолда    шундай   

    топа    оламизки,    барча 

 

учун  

 

бўлади. 

Энди 

 

 шартли қаноатлантирувчи ихтиёрий   ни олиб  

 

 

 

Тенгсизликни  эътиборга  олсак,  даражали  чексиз  камаювчи 

геометрик прогрессия йиғиндиси бўлган 

                        (*) 

x







1

n

n

n

x

a

 



D



















1

2

1

n

n

n

x

x

x

x





x

  



1

,

1







D

0



x







1

n

n

n

x

a

0

x

x



0

x

x



x

0

0



x

0

0



x

0



x







1

0

n

n

n

x

a

0

lim

0







n

n

n

x

a

0



c



,

3

,

2

,

1



n

c

x

a

n

n



0

0

x

x



x

n

n

n

n

n

n

x

x

c

x

x

x

a

x

a

0

0

0











1

0

n

n

x

x

қатор  яқинлашувчилигидан  солиштириш  теоремасига  асосан  (*) 

қаторнинг  яқинлашувчилиги  келиб  чиқади.  Демак, 

 

даражали қатор 

 шартни бажарувчи барча 

 ларда абсолют 

яқинлашувчи қатор экан. Теорема исбот бўлди. 

Қуйидаги  натижа  ҳам  ўринлидир.  Агар  бирор 

 

қийматда 

даражали  қатор  узоқлашувчи  бўлса,  у  ҳолда 

  тенгсизликни  каноатлантирувчи  барча 

  ларда  ҳам 

узоқлашувчи бўлади. 

Бу тасдиқлар даражали қаторнинг яқинлашиш ва узоқлашиш 

нуқталари тўпламларини аниқлашга ундайди. 

Хусусан, 

қатор 

  да  яқинлашувчи  бўлса, 

  интервалда  яқинлашувчи 

  да  узоқлашувчи  бўлса 

 ва

 интервалларда узоқлашувчи  бўлади. 

Қуйидаги теоремани исботсиз келтирамиз. 

2-теорема. Агар 

 даражали қатор 

 нинг баъзи 

 

қийматларида  яқинлашувчи,  баъзи  қийматларида  эса  узоқлашувчи 

бўлса,  у  ҳолда  ягона  шундай 

  сон  топиладики,  бу  даражали 

қатор   нинг 

  тенгсизликни  қаноатлантирувчи  қийматларида 

абсолют  яқинлашувчи, 

  тенгсизликни  қаноатлантирувчи 

қийматларида эса узоқлашувчи бўлади.  

 

Бу  теорема  ёрдамида  топилган 

  сонига 

  даражали 

қаторнинг    яқинлашиш  радиуси, 

  интервал  эса 

 

даражали  қаторнинг  яқинлашиш интервали дейилади. 

 

Қуйидагиларни эслатиб ўтамиз. 

 

Қаторнинг берилишига қараб   чекли сони ёки 

 бўлиши 

мумкин.  Яъни  шундай  даражали  қаторлар  борки  улар 

  да 

яқинлашувчи қатор бўлади. 

 

Агар   чекли сон бўлса, у ҳолда  даражали қатор яқинлашиш 

радиуси 







1

n

n

n

x

a

0

x

x



x

0

x

x









1

n

n

n

x

a

0

x

x



x







1

n

n

n

x

a

0

x

x







0

0

; x

x



0

x

x







0

;

x













;

0

x







1

n

n

n

x

a

x





0



x

0



R

x

R

x



R

x



R







1

n

n

n

x

a





R

R,









1

n

n

n

x

a

R





R











,

R

 ёки 

 

формула билан аниқланади. 

 

Агар   чекли сон бўлса Абель теоремасидан 

 даражали 

қаторнинг 

 соҳада яқинлашиши келиб чиқсада, 

 

ва 

 қийматларда қатор қандай қатор эканлиги очиқ қолади. Бу 

масала  ҳар  бир  даражали  қатор  учун  алоҳида  -  алоҳида  кўриб 

чиқилади.  

 

2-мисол.  a) 

  

қатор яқинлашиши радиуси аниқлансин. 

Ечиш. Берилган қаторда  

 

 

b) 

 

қатор яқинлашиш радиуси топилсин. 

Ечиш. Агар  

 

эканлигини ҳисобга олсак,

 

 

 

c) 

қаторнинг яқинлашиш соҳаси    аниқлансин. 

Ечиш. Берилишига кўра  

 

 

Абель теоремасига қаралаётган қатор (-1,1) интервалда 

яқинлашади. Ўз навбатида  

 

 

1

lim









n

n

n

a

a

R

n

n

n

a

R

1

lim







R







1

n

n

n

x

a

  



R

R

D

;







R

x





R

x





















0

2

1

n

n

n

x

x

x

x







,

3

,

2

,

1

,

1





n

a

n

1

1

lim

lim

1

















n

n

n

n

a

a

R

















0

2

!

!

2

!

1

1

!

n

n

n

n

x

x

x

n

x







!

1

1

;

!

1

1









n

a

n

a

n

n





































1

lim

!

!

1

lim

lim

1

n

n

n

a

a

R

n

n

n

n

n









0

2

1

n

n

n

x





1

1

1

;

1

1

2

1

2













n

a

n

a

n

n





1

1

2

2

lim

1

1

1

lim

lim

2

2

2

2

1



































n

n

n

n

n

a

a

R

n

n

n

n

n









0

2

1

1

n

n

қатор яқинлашувчи бўлганлиги  сабабли  

  қийматларда 

қатор  абсолют  яқинлашувчи  қатор  бўлади.  Натижада  берилган 

қатор 

  да  абсолют  яқинлашувчи, 

  бўлганда  эса 

узоқлашувчи қатор бўлади. 

 

 

 

Даражали қаторларни дифференциаллаш ва интеграллаш  

 

Даражали  қаторлар  муҳим  амалий  қўлланишларга  эгадир. 

Шу мақсадда уларнинг баъзи хоссаларини  ўрганайлик. 

Англаш  қийин  эмаски  даражали  қатор  ўзининг   

 

яқинлашиш соҳасида   ўзгарувининг  

    

функциясини аниқлайди. 

Бу 

  функция 

 соҳасида узлуксиз  бўлиб, исталган 

тартибли  узлуксиз  ҳосилаларга  эгадир.  Шу  билан  бирга 

  

ҳосила 

қатор  ҳадиларнинг  ҳосилалари  йиғиндисига 

тенгдир, яъни  

. 

Худди шунингдек 

 

 

ва ҳаказо. 

 

Бу 

хоссани 

одатда 

даражали 

қаторни 

ҳадма-ҳад 

дифференциаллаш хоссаси деб юритилади.  

Шу  каби  даражали  қатор  йиғиндисининг  интеграл  қатор 

ҳадлари  интегралларнинг    йиғиндисига  тенгдир  мазмундаги  хосса 

ҳам ўринлидир. 

Яъни, 

 оралиқдан олинган ҳар қандай   учун  

 

 

Функцияларни даражали қаторга ёйиш. Тейлор ва Маклорен  

қаторлари 

1

,

1







x

x

 

1

,

1



1



x





R

R;



x

 









0

n

n

n

x

a

x

f

 

x

f





R

R;



 

x

f



 









0

n

n

n

x

a

x

f

 

























1

1

1

2

1

2

n

n

n

n

n

x

na

x

a

n

x

a

a

x

f





 



















2

2

1

n

n

n

x

a

n

n

x

f

 























3

3

2

1

n

n

n

x

a

n

n

n

x

f





R

R;



x

 

























1

3

2

1

3

2

2

1

0

n

x

a

x

a

x

a

x

a

C

dx

x

f

n

n

Юқорида 

  даражали  қатор  ўзининг  яқинлашиш 

соҳаси 

да узлуксиз 

 функцияни  ифодалаб, шу оралиқда 

бу  функция    исталган  тартибли  ҳосилага  эга  бўлиши  келтирилган 

эди. 

Энди бирор оралиқда исталган тартибли ҳосилага эга бўлган 

функцияни даражали қаторга ёйиш масаласини ўрганайлик. 

“Тейлор формуласи” деб аталувчи 

  (1) 

формула маълум. Бу ерда  

 қолдиқ ҳад. 

 

 5-таъриф.  Агар 

  функция 

  нуқтанинг    бирор 

атрофида исталган тартибли ҳосилага эга бўлса:  

      (2) 

кўринишдаги қаторга 

 функциянинг Тейлор қатори дейилади. 

 

 Агар  эътибор  берсак  бу  қатор  маълум  қонуният  билан 

тузилган 

даражали 

қатор 

эканлигини 

кўрамиз. 

Унинг  

коэффицентлари 

  функция  ва  унинг  ҳосилаларини 

 

нуқтадаги қийматлар орқали ифодаланган. 

 

Ўрни  келганда  (2)га 

  функциянинг 

  нуқта 

атрофидаги Тейлор қаторига ёйилмаси деб ҳам аталади.  

 

Агар (2) да 

 деб олинган бўлса,  

 

кўринишдаги қаторни Маклорен қатори деб аталади.  

 

Бу  каби  қаторлардан  функцияларнинг  қийматларини 

ҳисоблашда ҳам кенг фойдаланилади. 

 

Агар  функция  учун  формал  ҳолда  Тейлор  ёки  Маклорен 

қатори ёзилган бўлса, бу қатор берилган функцияни ифодалашини 

исбот  килиш  учун  ёки  қолдиқ  ҳадининг  нолга  интилишини 

исботлаш ёки бу қаторнинг қаралаётган функцияга яқинлашишини 

бошқа бирор усул билан кўрсатиш керак бўлади. 

 

Баъзи  элементар  функцияларнинг  Маклорен  қаторига 

ёйилмаларини келтирамиз. 







0

n

n

n

x

a

)

,

(

R

R



)

(x

f

 

 

 



 



 

 



 

x

R

x

x

n

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

n

n

n























0

0

2

0

0

0

0

0

!

!

2

!

1



 

x

R

n

 

x

f

y



0

x

x



 

 

 



 



 

 





























n

n

x

x

n

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

0

0

2

0

0

0

0

0

!

!

2

!

1

 

x

f

 

x

f

0

x

x



 

x

f

y



0

x

x



0

0



x

 

 

 

 

 





















n

n

x

n

f

x

f

x

f

f

x

f

!

0

!

2

0

!

1

0

0

2

 

 

 

Бу  қаторларнинг  ҳар  бири  учун  хам 

    бўлгани 

сабабли 

  нинг  ҳар  қандай  қийматида  ҳам 

  улар 

яқинлашувчи  бўлиб,  мос  равишда 

  функцияларни  

ифодалайди.  

Функция  ёйилмасини  ифодоловчи  Тейлор  ёки  Маклорен 

қаторининг яқинлашиш соҳаси функциянинг аниқлашиш соҳасидан 

фарқли бўлиши мумкин. 

3-мисол. 

a)

  функция учун 

 бўлсада, 

 

қатор фақат (-1;1) оралиқда ўринлидир. 

 

b) 

 

ёйилма 

 бўлгандагина  маънога эга бўлади. 

 

Қаторларнинг тақрибий ҳисоблашга татбиқлари 

 

 

Бир неча мисоллар қараймиз. 

4-мисол. 

  нинг    ёйилмасидан  фойдаланиб   

    ни  

 аниқликкача тақрибий ҳисобланг. 

Ечиш. 

 функциянинг  

 

қаторга ёйилмасидан фойдаланиб, 

             

        

қаторни ҳосил қиламиз. 

            

 

   

























1

2

1

!

5

!

3

sin

1

2

1

5

3

n

x

x

x

x

x

n

n

   





















!

2

1

!

6

!

4

!

2

1

cos

2

6

4

2

n

x

x

x

x

x

n

n



















!

!

3

!

2

1

3

2

n

x

x

x

x

e

n

x

 

0

lim





x

R

n

n

x













;

x

x

e

x

x

,

cos

,

sin

 





x

x

f





1

ln

  









;

1

y

D





 





















n

x

x

x

x

x

n

1

3

2

1

ln

3

2







 































n

x

n

n

x

x

x

!

1

1

1

!

2

)

1

(

!

1

1

1

2













1



x

x

cos

0

18

cos

001

,

0

x

cos

...

!

)

2

(

)

1

(

!

)

2

2

(

)

1

(

...

!

6

!

4

!

2

1

cos

2

1

1

2

1

6

4

2





























n

x

n

x

x

x

x

x

n

n

n

n

...

10

!

4

1

10

!

2

1

1

10

cos

18

cos

4

2

0









































.

00974

,

0

10

;

09870

,

0

10

;

31416

,

0

10

4

2





































 ва 

      бўлганлиги  учун,  тақрибий  ҳисоблашда 

қаторнинг биринчи учта ҳади билан чегараланамиз, демак 

  

      

      

5-мисол.  

ни 

аниқликкача тақрибий ҳисобланг. 

Ечиш.  

 деб,  

 

биномиал қатордан фойдалансак: 

 

бўлади.  

Тўртинчи  ҳад 

  бўлганлиги  учун,  ҳисоблашда 

биринчи учта ҳадини олиб, ҳисоблаймиз: 

. 

6-мисол.  

 ни 

 

аниқликкача тақрибий ҳисобланг. 

Ечиш. 

  га    энг  яқин  бутун  соннинг  куби  бўлганлиги 

учун 

деб олиш қўлай бўлиб,  

 

        

 

охирги  қаторда  тўртинчи  ҳад 

  дан  кичик  бўлганлиги  учун, 

биринчи учта ҳад билан чегараланамиз: 

 

7-мисол.   

    ни

гача  аниқликда  тақрибий 

ҳисобланг. 

0001

,

0

10

!

6

1

6



















.

9511

,

0

18

cos

;

24

00974

,

0

2

09870

,

0

1

18

cos

0

0









yoki

5

1

,

1

0001

,

0

5

1

5

)

1

,

0

1

(

1

,

1





...

....

!

3

)

2

)(

1

(

!

2

)

1

(

!

1

1

)

1

(

3

2





















x

m

m

m

x

m

m

x

m

x

m

....

000048

,

0

0008

,

0

02

,

0

1

...

001

,

0

!

3

)

2

5

1

(

)

1

5

1

(

5

1

01

,

0

!

2

)

1

5

1

(

5

1

1

,

0

5

1

1

)

1

,

0

1

(

1

,

1

5

1

5









































0001

.

0

000048

.

0



0192

,

1

0008

,

0

02

,

0

1

1

,

1

5









3

130

001

,

0

130

5

3

5

5

130

3





...

000032

,

0

81

25

5

0016

,

0

9

1

2

,

0

3

1

5

....)

000064

,

0

!

3

))

2

3

1

(

)

1

3

1

(

3

1

(

0016

,

0

!

2

)

1

3

1

(

3

1

04

,

0

3

1

1

(

5

)

25

1

1

(

5

)

25

1

1

(

5

5

5

130

3

1

3

3

3

3

3





















































001

,

0

.

066

,

5

0009

,

0

0667

,

0

5

130

3









04

,

1

ln

0001

,

0

Ечиш. 

  функциянинг  даражали  қаторга  ёйилмасидан 

фойдаланиб, 

    ёки 

 

қаторни  ҳосил  қиламиз,  ҳамда  учинчи  ҳад 

    дан  кичик 

бўлганлиги учун биринчи икки ҳадни ҳисобга олиб ҳисоблаймиз: 

 

 

Мавзу юзасидан саволлар 

 

1. Функционал қатор деб нимага айтилади? 

2. Функционал каторларга мисоллар келтиринг. 

3. Функционал  қаторнинг  яқинлашиш  нуқтаси  деб  нимага 

айтилади? 

4. Даражали қатор нима ва унинг  якинлашиш радиуси қандай 

топилади? 

5. Даражали  қаторларни  дифференциаллаш  ва  интегралаш 

қоидаларини айтинг. 

6. Қандай интервалга яқинлашиш интервали дейилади? 

7. Маклорен ва Тейлор формулалари қандай бўлади? 

8. Тейлор қатори деб қандай қаторга айтилади? 

9. Маклорен қатори Тейлор қаторидан келиб чиқадими? 

10. Қандай функцияларни Тейлор қаторига ёйиш мумкин? 

 

 

)

1

ln(

x



,

....

4

04

,

0

3

04

,

0

2

04

,

0

04

,

0

)

04

,

0

1

ln(

4

3

2













...

00000064

,

0

000021

,

0

0008

,

0

04

,

0

04

,

1

ln











0001

,

0

.

0392

,

0

04

,

1

ln

