22-мавзу: биринчи даражали бир номаълумли танқосламаларнинг эчимлари сони ҳАҚидаги теорема. 1-таъриф

27-МАВЗУ: ТУБ МОДУЛЛИ ЮҚОРИ ДАРАЖАЛИ
ТАҚҚОСЛАМАЛАР
Таққосламаларнинг 10-хоссасига асосан, ҳар қандай мураккаб модулли таққосламаларни доимо туб модулли таққосламаларга келтириш мумкин эди. Энди биз туб модулли таққосламалар билан шуғулланайлик.
TАЪРИФ. f(х)= а₀х^п+а₁х^n-1 + ... + а_n-1х+a_n кўпҳад a_iZ ва m>1 бўлиб, a₀ m бўлса, у ҳолда ушбу
f(x)  0 (mod m) (1)
таққослама n – даражали. бир номаълумли таққослама дейилади.
(1) таққосламани тўғри сонли тақкосламага айлантирувчи х₀ + mt (tZ) синф шу таққосламанинг ечими дейилади. x₀ + mt синфининг битта элементи бўлган х₀ сон m модуль бўйича тузилган чегирмаларнинг тўла системасига тегишлидир. Шунинг учун m модуль бўйича тузилган тўла системанинг чегирмалари (1) ни қаноатлантирса, бу таққосламанинг ечимлари сонни ҳам шунча бўлади.
Ечимлари тўплами устма-уст тушган таққосламалар одатда тенг кучли таққосламалар деб аталади.
Aгap (1) таққосламанинг иккала қисмига ихтиёрий кўпҳад қўшилса, у ҳолда ҳосил бўлган таққослама (1) таққосламага тенг кучли таққослама бўлади. Aгap (1) таққосламанинг иккала қисми m модуль билан ўзаро туб бўлган k сонга кўпайтирилса, у ҳолда ҳосил бўлган таққослама (1) таққосламага тенг кучли бўлади. Aгap (1) таққосламанинг иккала қисми ва модули k натурал сонга кўпайтирилса, у ҳолда ҳосил бўлган таққослама берилган таққосламага тенг кучли таққослама бўлади.
Фараз қилайлик, бизга коэффициентлари Z сонлар ҳалқасига тегишли бир номаълумли п- даражали таққослама берилган бўлиб, унинг модули туб сондан иборат бўлсин, яъни
f(х)= а₀х^п+а₁х^n-1 + ... + а_n-1х+a_n  0 (mod p)
(р– туб сон а₀ р) бўлсин.
Аввало барча a_i коэффициентларни р модулга кўра абсолют қиймат бўйича энг кичик қолдиқлар билан алмаштириб оламиз. Масалан,
25х³+ 17x²–13  0 (mod11)
таққосламани 253 (mod11), 17-5 (mod11), 13 2 (mod11) бўлгани учун
3x³-5x²–23 (mod11) (2)
кўринишда ёзиш мумкин. (а₀;р)=1 бўлганидан
а₀y1 (mod p) (3)
тақкослама доимо ягона ечимга эга бўлади. (3) таққoсламани у га нисбатан ечиб, бу топилган ечимга (2) нинг иккала қисмини кўпайтирсак, х^п олдидаги коэффициент 1 га тенг бўлиб қолади. Ҳақиқатан, (2) таққосламанинг иккала қисмини 3у1(mod11) таққосламанинг ечими бўлган y  (mod11)га кўпайтирсак, у х³+2х²+30 (mod 11) курнишни олади. Умуман олганда қуйидаги теорема ўринли:
1-ТЕОРЕМА. Даражаси n (n> р) га тенг бўлган, р туб модулли таққослaма даражаси р –1 дан каттa бўлмаган таққосламага тенг кучли бўлади.
ИСБОТИ. Қолдиқли бўлиш ҳақидаги теоремага асосан, пN ва p–1N лар учун қуйидаги тенгликни ёза оламиз:
n = (р–1)k + r (1≤ r ≤p–1).
Биз бу ерда қолдиқни 0 дан р–2 гача олмасдан 1 дан р–1 гача олдик, чунки р–1 модуль бўйича чегирмаларнинг тўла системаси сифатида 0, 1, 2, . . . , р–2 ёки 1, 2, 3, ....р–1 системани олиш мумкин. Бундан ташқари Ферма теоремасига асосан,
х х^р (mod p)
таққослама ўринли. Бу таққослaманинг иккала қисмини кетма-кет
x^r-1, x ^{(p-1) 1+r-1}, x ^{(p-1) 2+(r–1)}, … , x ^{(p-1)(k–1)+(r–1)}
га кўпайтирамиз. Унда қуйидаги таққосламалар ҳосил бўлади:
x^r х^{(р–1)  1+r} (mod p),
x^{(p-1)  1+r} х^{(р–1)  2+r} (mod p),
…………………………………
x^(p-1)(k-1)+r х^(р–1)k+r (mod p),
Aгap бу таққосламаларни ҳадлаб кўпайтирсак ва ҳосил бўлган таққосламанинг икала қисмини умумий кўпайтувчага бўлсак, у ҳолда
x^r=x^{(p–l)k+r} (mod p), 1≤ r≤р–1 (4)
таққослама ҳосил бўлади. п = (р–1) k +r ва (2) таққосламага асосан
xⁿ=x^r (mod p), 1≤ r≤р–1
га эга бўламиз.
Mисол. x¹⁹+3x¹⁷–3х¹¹–x⁵+3х²–1=0 (mod7) таққослама берилган бўлсин. Бу ерда 7 – 1=6 бўлгани учун юқоридаги таққосламaни
х+ 3х⁵– 3х⁶–x⁵ + 3х²– 1=0 (mod 7)
ёки
x⁵–3x²–х+1=0 (mod 7)
шаклда ёзиш мумкин.
2-ТЕОРЕМА. Tyб модулли п- даражали таққослама ечимлари сони п тадан ортиқ эмас.
ИСБОТИ. Фараз қилайлик, (2) таққослама берилган бўлиб, х х₁(mod р) унинг ечими бўлсин, яъни
f(x₁) = 0 (mod p) (5)
тақкослама ўринли бўлсин. У ҳолда Безу теоремасига асосан
f(х) = (х -x₁) f₁(х) + f(x₁)
бўлади, бу ерда f₁(х) даражаси п –1 дан катта бўлмаган кўпҳад, f(x₁) эса р га қолдиқсиз бўлинадиган сон. (5) га асосан (2) таққосламани
f(х) = (х -x₁) f₁(х) (mod р) (6)
кўринишда ёза оламиз. (2) ва (6) дан (х -x₁) f₁(х)  0 (modp) таққослама ҳосил бўлади.
Aгap f₁(х)  0 (modp) таққослама бирор х  x₂(modp) каби ечимга эга бўлса, х нииг барча бутун қийматларида айнан бажарилувчи
f(x) = (x-x₂)f₂(x) (modр)
таққосламага эга бўламиз. Энди юқоридаги фикрларни f₂(х) гa нисбатан қўллаш мумкин. Бу жараённи давом эттириб, қуйидаги иккита тасдиқдан бири доимо ростлигига ишонч ҳосил қиламиз:
1. k қадамдан сўнг умуман ечимга эга бўлмаган (п–k)- даражали
f_k(х)  0 (modp) (7)
таққосламага эга бўламиз.
2. а₀(х–x_n) 0 (modp) кўринишдаги биринчи даражали таққосламага эга бўламиз.
1-ҳолда (2) таққосламани
f(x)  (x-x₁)(x-x₂) ... (x – x_k)f_k(x) (mod p) (8)
кўринишга, 2-ҳолда эса
f(x)  a₀(x-x₁)(x-x₂) ... (x – x_n) (mod p) (9)
кўринишга келтирамиз. 1-ҳолда (2) таққослама x₁,х₂, ...,x_k лардан бошқа ечимга эга бўлмайди. Ҳақиқатан, xx_k+1 (modp) ечим мавжуд бўлиб, бўлса, у ҳолда
f_k(x_k+1)= 0 (mod p)
таққослама рост бўлади. Бу эса (7) таққосламанинг ечимга эга бўлмаслигига зиддир.
3-ТЕОРЕМА. Агар n- даражала туб модулли таққосламанинг ечимлари сони n dan ортиқ бўлса, у ҳолда унинг барча коэффициентлари р га бўлинади.
Исботи. Фараз қилайлик, х₁, х₂, . . ,х_п, х_n+1 лар (2) такқосламанинг ечимлари бўлсин. f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+ ... +а_п кўпҳадни f(x)= а₀(х–х₁)(х –х₂).. .. . (x – x_h) + b(x – х₁)(х – х₂) ... (х –x_п-1)+ ...+ l(х–x)+ m кўринишда ёзиш мумкин. Бу ерда таққослама ечимлари. b, . . . , l, m лар кўпҳадлар тенглиги таърифга асосланиб топилади.
х=х₁ бўлса, f(x₁) = m бўлади ва m/p, чунки f(x₁) /p x=x₂бўлсин, у ҳолда f(х₂) = l(x₂– x₁)+тгa эга бўламиз. Бундан f(x₂)/p ва m/p бўлгани учун l(х₂–x₁)/p бўлади. Лекин x₂–х₁ р дан l/p бўлади. Шундай давом эттириб, х=х_n+1 қиймат берамиз.
f(x_n+1)  a₀(x_n+1-x₁)( x_n+1-x₂) ... (x_n+1 – x_n) (mod p)
таққосламадан a₀/p.
a₁,a₂, . . ., a_n лар a₀, b, … l, m сонларнинг алгебраик йиғиндиси бўлгани учун улар ҳам р га бўлинади.