23- ma’ruza ikki karrali integral ta’rifi. Ikki karrali integralning mavjudlik sharti. Ikki karrali integralning xossalari. Reja

23- ma’ruza

IKKI KARRALI INTEGRAL TA’RIFI. IKKI KARRALI

INTEGRALNING MAVJUDLIK SHARTI. IKKI KARRALI INTEGRALNING XOSSALARI.

Reja:

23.1. Silindrik g’o’laning hajmi haqidagi masala.

23.2. Ikki karrali integral ta’rifi.

23.3. Ikki karrali integralning mavjudlik sharti.

23.4. Integrallanuvchi funksiyalarning sinflari.

23.5. Ikki krrali integralning xossalari.

23.6. Ikki karrali integrallarni xisoblash.
Tayanch iboralar. Uzluksiz funksiya, soha, sirt, ikki karrali integral, jismning hajmi, egri chiziq, integral yig’indi, bo’linish, Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari, integrallanuvchi, ikki karrali integralni qutb koordinatalar sistemasiga almashtirish formulasi, silindrik almashtirishlar, sferik almashtirishlar.
23.1. Silindrik g’o’laning hajmi haqidagi masala
Egri chiziqli trapesiyaning yuzi to’g’risidagi masala oddiy aniq integral tushunchasini kiritishga keltirilgani singari silindrik g’o’laning hajmi haqidagi masala bizni yangi tushunchaga, ikki karrali integral tushunchasiga olib keladi.

funksiya biror chegaralangan () sohada berilgan, uzluksiz hamda uchun bo’lsin. fazoda -Dekart koordinatalar sistemasini olaylik. Yuqoridan sirt bilan, yon tomondan, yasovchilari o’qiga paralel bo’lgan silindrik sirt hamda pastdan tekislikdagi soha bilan chegralangan jismni qaraylik(23.1-chizma). jismning hajmini topish talab etilsin.

Agar funksiya biror chegaralangan () sohada o’zgarmas bo’lsa, , u holda jismning hajmi ga teng bo’ladi, bunda sohaning yuzi. 23.1-chizma

Agar sohada va o’zgaruvchilarning ixtiyoriy uzluksiz funksiyasi bo’lsa, u holda jismning hajmini topish uchun, avvalo sohani egri chiziqlar bilan ta bo’lakka bo’lamiz: . Bo’luvchi chiziqlarni yo’naltiruvchi sifatida olib o’qiga parallel silindrik sirtlar o’tkazamiz. Natijada jism ta bo’lakkalarga ajraladi. So’ng har bir da ixtiyoriy nuqta olamiz. Bu () da funksiyani o’zgarmas va ga teng desak, u holda bo’lakning hajmi taxminan

bo’lib, jismning hajmi esa, taxminan

bo’lib, bunda sohaning yuzi.

Endi sohani bo’laklarga bo’linish sonini shunday orttira boraylikki, bunda har bir bo’lakning diametri nolga intilganda, limitda, bu taqribiy tenglik aniq tenglikka aylanadi, ya’ni

bo’ladi va shu bilan qo’yilgan masala hal etiladi.

Ana shu ko’rinishdagi ifodaning limitini dan soha bo’yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.