23-маъруза. Мавзу

23-МАЪРУЗА.
МАВЗУ: Бош йўналишлар ва бош эгриликлар.

Ф сиртнинг 2-квадратик формаси ҳам Т_рФ га тегишли векторлар жуфти учун аниқланган бичизиқли (яъни ҳар бир аргументи бўйича чизиқли) функция ёрдамида аниқланади. Ф сиртнинг р нуқтасидаги бирлик нормал векторини билан белгилайлик. Иккинчи квадратик формани II билан белгилаб, уни учун ни бериш ёрдамида аниқлаймиз.

Агар p нуқта атрофида Ф сиртни параметрлаш усули тенглама билан аниқланиб, Ф сиртда p нуқтадан ўтувчи эгри чизиқ тенглама билан берилган ва бўлсин. Þқорида кўрсатилганидек, дифференциалланувчи функциялар мавжуд бўлиб тенглик бажарилади. Иккинчи квадратик форманинг жуфтлик учун қийматини формула билан аниқлаймиз. Энди ва

тенгликларни ҳисобга олиб,
формулани ҳосил қиламиз.
Энди

белгилашларни киритиб, иккинчи квадратик формага мос келувчи бичи­зиқли функцияни

формула ёрдамида аниқлаймиз. Бу ерда .
Биринчи ва иккинчи квадратик формалар коэффициентларидан тузилган

матрицаларни киритамиз. Биз биламизки, detA>0 бўлганлиги учун теска­ри матрица мавжуд. матрица учун қуйидаги теорема ўрин­лидир.
Теорема-10. матрицанинг хос сонлари ҳақиқий бўлиб, улар ҳар хил бўлганда уларга мос келувчи хос векторлар ўзаро перпендикулярдир.
Исбот. матрицанинг хос сонларини топиш учун тенгламани ечиш керак. Бу тенглама тенгламага тенг кучлидир. Ф сиртга тегишли р нуқтани фиксирласак А,В сонли матрицалар бўлади. А симметрик бўлганлиги учун уни бирорта матрица ёрдамида бирлик матрицага айлантириш мумкин. Бунда А матрица САС^Т матрицага ўтади. Демак САС^Т=Е ёки бу ерда С^Т транспонирланган матрица. Шунда

бу ерда . Демак, тенглама тенг­ламага тенг кучлидир. Лекин
,
яъни симметрик бўлганлиги учун унинг хос сонлари ҳақиқийдир. Демак, матрицанинг хос сонлари ҳақиқий, ва улар ҳар хил бўлганда хос векторлар ўзаро ортогоналдир¹. 
Агар -хос сонлар, -хос векторлар бўлса, яъни _, тенгликлар бажарилса бўлганда деб ҳисоблаймиз.
Таъриф-1. бўлганда ва векторлар аниқловчи тўғри чизиқлар р нуқтадаги бош йўналишлар деб аталади.
Теорема-12. матрицанинг хос ва векторлар йўналишлари бўйича нормал эгриликлар мос равишда шу матрицанинг хос сонларига тенг бўлади.
Исбот.

ни ҳисоблаш учун да ва хос векторлардан иборат ортонормал базисни танласак,
ва тенгликлар ўринли бўлади.
нинг скаляр кўпайтма эканлигини ҳисобга олсак,

келиб чиқади. Демак бу базисда
ва .
Демак,

тенгликлар келиб чиқади. 
Таъриф-3. Бош йўналишларга мос келувчи нормал эгриликлар бош эгриликлар деб аталади.
Энди -уринма фазода базис сифатида бирлик хос ва векторларни олиб, ихтиёрий вектор учун билан ва орасидаги бурчакни белгилайлик.
Теорема-13 (Эйлер). Ихтиёрий уринма вектор учун

тенглик ўринлидир. Бу ерда -бош эгриликлар бўлиб, аниқлик учун деб ҳисоблаймиз.
Исбот. Уринма векторни кўринишда ёзиб ни ҳисоблаймиз:

Натижа. Бош эгриликлар нормал эгриликнинг экстремал қийматларидир.
Ҳақиқатан ҳам, уринма фазода ва ортонормал базисларни танласак, йўналиш аниқловчи нормал эгриликни нинг функцияси сифатида қараймиз:
.
да ва

да ва . Ихтиёрий учун þқоридаги формулани

кўринишда ёзиб,

ни ҳосил қиламиз. тенгламани ечиб ва ни топамиз. Демак, ва , функциясининг экстремал қийматларидир.

1^ И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М:, Наука, 1971.