26-mavzu. Chiziqli o’zgarmas koeffifientli bir jinsli sistemalar Reja

hos vektor deyiladi.

hos sonlarning har biriga mos aniqlangan

yechimlar ihtiyoriy intervalda chiziqli erkli bo’ladi. Bu tasdiqni isbotlash uchun

ayniyat faqat va faqat bo’lgandagina bajarilishini ko’rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni koeffisientlardan birortasi noldan farqli bo’lsin. Aniqlik uchun deb olaylik. (6) ayniyat quyidagi ta ayniyatga teng kuchli

Avvalgi darslarimizning birida sonlar turlicha bo’lganda funksiyalarning ihtiyoriy intervalda chiziqli erkli bo’lishini isbotlagan edik. Demak yuqoridagi (7) ayniyatlar o’rinli bo’lishi uchun lar oldidagi barcha koeffisientlar nolga teng bo’lishi kerak. Hususan oldidagi koeffisientlar . Yuqorida deb faraz qilinganligidan tengliklarni hosil qilamiz. Biz ( orqali (3) sistemadaning o’rniga bo’lgandagi noldan farqli yechimini belgilaganmiz. Hosil qilingan ziddiyat (5) yechimlar ihtiyoriy intervalda chiziqli erkli bo’lishini ko’rsatadi.

Demak, agar hos sonlar har hil va haqiqiqy bo’lsa, u holda (1) chiziqli bir jinsli sistemaning (5) ko’rinishdagi ta haqiqiy chiziqli erkli yechimini hosil qilia olamiz. Boshqacha aytganda bu holda (5) funksiyalar (1) chiziqli sistemaning fundamental yechimlar sistemasidan iborat. O’tgan darsdagi 4-teoremaga ko’ra, (1) sistemaning oraliqdagi umumiy yechimi

yoki

formula bilan ifodalanadi.

Hos sonlar har hil lekin ular orasida kompleks son ham bor bo’lsa, u holda komleks son ham hos son bo’ladi. (2) ga ko’ra ildizga mos yechimni yozaylik:

bu yerda kompleks sonlar (3) sistemada o’rniga qo’yib aniqlangan. Bu yechimning haqiqiy va mavhum qismalrini ajratib olib (1) sistemaning ikkita haqiqiy yechimiga ega bo’lamiz:

Bu yechimlar ihtiyoriy intervalda chiziqli erkli. hos songa mos haqiqiy yechimlar yuqoridagi iikita yechimga chiziqli bog’liq bo’lishini ko’rsatish qiyin emas.

Shunday qilib, agar (1) sistemaning hos sonlari har hil va ular orasida kompleks sonlar bor bo’lsa, u holda ularga mos (1) sistemaning haqiqiy yechimlar soni ham 2ta bo’lishini ko’rsatdik. Yuqoridagi mulohazalarga ko’ra (1) sistemaning hos sonlari har hil bo’lganda, har doim n ta chizqli erkli haqiqiy yechimlarini, ular yordamida esa sistemaning umumiy yechimini aniqlay olamiz.