29-Mavzu Bezu teoremasi. Gorner sxemasi va uning tatbiqlari. Yevklid algoritmi P(x)=a0x +a1x +a2x +…+an-1

29-Mavzu
Bezu teoremasi. Gorner sxemasi va uning tatbiqlari. Yevklid algoritmi
P(x)=a0x +a1x +a2x +…+an-1x+an kupxadni Q(x)=x-a ikkixadga bulamiz:
P(x)=(x-a)*S(x)+R ni xosil kilamiz.
Koldik R ni darajasi 0 ga teng bo’lgan kupxad, chunki uning darajasi buluvchi Q(x) ning darajasidan kichik.
1-Teorema (Bezu). Kupxad P(x) ni x-a ga bo’lganda koldik R kupxadni xqa dagi kiymatiga teng, ya’ni R=P(a)
(Yeten Bezu (1730-1783) – fransuz matematigi).
Isbot. P(x)=(x-a)*S(a)+R tenglikda x ning urniga a ni kuyib topamiz:
P(a)=R , teorema isbotlandi.
Natija. Agar R=0 bo’lsa, R(x) x-a ga koldiksiz bulinadi, R≠0 bo’lsa, R(x) x-a ga koldikli bulinadi (bulinmaydi).
4-misol. P(x)=3x³-4x²+5 ni x-3 ga bo’lganda koldikni toping.
Yechish. R=P(x)=3∙3³-4∙3²+5=81-36+5=50
5-misol. P(x)=xⁿ-aⁿ ni x-a ga koldiksiz bulinishni kursating.
Yechish. R=P(a)aⁿ-aⁿ=0
6-misol. P(x)=x²ⁿ+a²ⁿ x+a ga bulinmasligini kursating.
Yechish. R=P(-a)=a²ⁿ+a²ⁿ=2a²ⁿ≠0
Bezu teoremasidan R(x) ko’pxadni ax+b ikkixadga bulishdan xosil bo’ladigan r koldik ga tengligi kelib chikadi.
7-misol. P(x)= ni 2x+1 ga bo’lgandakoldik nimaga teng?
Yechish.
Endi P(x) kupxadni Q(x) q x-a ikkixadga bo’lganda bulinma S(x) ning koyeffisiyentlarini aniklashga utamiz.
a0xⁿ+a1x +…+an=(x-a)∙S(x)+R (2)
tenglikda S(x) bulinmani S(x)=b0x +b1x +…+bn-1 kurinishda kidiramiz.
(2) tenglikda x ning bir xil darajalari oldiga koyeffisiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bulamiz:

a0=b0

a1=b1-ab0
a2=b2-ab1
…………..
an-1=bn-1 – abn-2
an =R – abn-1
Bu tengliklardan ketma–ket noma’lum koyeffisiyentlarni topamiz: b0=a0, b1=ab0+a1, b2=ab1+a2,…, bn-1=abn-2+an-1, R=abn-1+an . Topilganlarni quyidagi jadvalga joylashtirish maksadga muvofik bo’ladi.

a0	a1	a2	…	an-1	an
b0=a0	B1=ab0+a1	b2=ab1+a2	…	Bn-1=abn-1+an-1	R=a0bn-1+an

Keltirilgan usul Gorner (Xirner Uilyam (1786-1837) – ingliz matematigi) sxemasi deb ataladi.
8-misol. Gorner sxemasi yordamida P(x)=x -3x³+5x-4 kupxadni x+2 ga bo’lganda bulinma va koldikni toping.
Yechish. Jadvalning birinchi katoriga P(x) ning koyeffisiyentlari 1,0,-3,05,-4 ni joylashtiramiz. Ikkinchi katoriga a=-2 ni kuyib bi larni topamiz:

a0	a1=0	a2=-3	a3=0	a4=5	a5=-4
b0=1	b1=-2	b2=1	b3=-2	b4=9	R=-22

Topilgan koyeffisiyentlarga ko’ra bulinma S(x)=x -2x³+x²-2x+9 ga koldik R=-22 ga teng.
Mashqlar.
78. P(x) kupxad Q(x) ikkixadga bulinadimi?
a)P(x)=x –4x+3, Q(x)=x-1;
b)P(x)=x –4x+3, Q(x)=x+1;
c)P(x)=x –4x+3, Q(x)=x²-1.
79. a) x -3x+1 ni x-2 ga
b) 3x -4x³+2x-1 ni x+2
c) x +2x³-3x+2 ni 2x+1 ga va 2x-3 ga bo’lganda qoldikni toping.
80. m ning qanday qiymatlarida 3x³-4x²-mx-1 x+1 ga bo’linda.
81. Gorner-Rudfni sxemasi yordamida P(x) ni g(x) ga bo’lganda bo’linma va qoldiqni toping.
a)P(x)=x³-3x²+5x-4 g(x)=x+2;
b)P(x)=2x -3x²+5 g(x)=x-2;
v)P(x)=5x -4x³+8x g(x)=x-1;
g)P(x)=x +3x +4x²+3 g(x)=x+1.