3-§. ChiziQning urinmasi. Tayanch tushuncha va munosabatlar

3-§. ChiziQning urinmasi.


Tayanch tushuncha va munosabatlar. Chiziqning urinmasi.

Evklid fazosida  elementar chiziq, unga tegishli P nuqta va P nuqtadan o‘tuvchi ℓ to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin.  chiziqda P nuqtaga yaqin joylashgan Q nuqtani olamiz (21–chizma). Q nuqtadan P nuqtagacha bo‘lgan masofani

d bilan, Q nuqtadan ℓ to‘g‘ri
c hiziqqacha bo‘lgan masofani
 bilan belgilaymiz:
d = PQ, δ = QN.
Agar Q nuqta  chiziq
buylab P nuqtaga intilsa, u
vaqtda d va δ masofalar nolga
intiladi. Lekin bu holda nisbat
nimaga intilishi haqida hech narsa 21–chizma.
deya olmaymiz.
Ta’rif. Q nuqta  chiziq bo‘ylab P nuqtaga intilganda ifoda nolga intilsa, ℓ to‘g‘ri chiziq  chiziqning P nuqtasidagi urinmasi deb ataladi.
ℓ va PQ to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni φ bilan belgilasak

bo‘ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadiki, agar  chiziq P nuqtasida urinmaga ega bo‘lsa, u vaqtda Q nuqta  chiziq bo‘ylab P nuqtaga intilganda PQ to‘g‘ri chiziq bu urinmaga yaqinlashadi. aksincha, agar Q nuqta  chiziq bo‘ylab P nuqtaga intilganda PQ to‘g‘ri chiziq biror to‘g‘ri chiziqqa yaqinlashsa, u vaqtda bu to‘g‘ri chiziq  chiziqning P nuqtasidagi urinmasi bo‘ladi.
Teorema. Regulyar chiziqning har bir nuqtasida yagona urinma mavjud. Agar  chiziq vektor tenglamasi bilan berilsa, u vaqtda chiziqning P(t_o) nuqtasidagi urinmasi vektorga parallel bo‘ladi va aksincha, agar P(t_o) nuqtasidan o‘tuvchi biror to‘g‘ri chiziq vektorga parallel bo‘lsa, u vaqtda bu to‘g‘ri chiziq  chiziqning P(t_o) nuqtasidagi urinmasi bo‘ladi.
Isbot. Isbotni teoremaning ikkinchi qismidan boshlaymiz. Faraz qilaylik  regulyar chiziq P(t_o) nuqtasida ℓ urinmaga ega bo‘lsin (22–chizma). vektor ℓ to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan birlik vektor bo‘lsin. Agar P(t_o) nuqtaning radius vektorini , unga yaqin turgan Q(t_o+Δt) nuqtaning radius vektorini desak, Q(t_o+Δt) nuqtadan P(t_o) nuqtagacha d masofa quyidagicha bo‘ladi:

22–chizma.

ya’ni

Q(t_o+Δt) nuqtadan urinmagacha bo‘lgan δ masofa quyidagicha bo‘ladi:

Bu tenglik ushbu mulohazalardan kelib chiqadi:
1. PQN uchburchakdan:

2. va vektorlarning vektor ko‘paytmasidan:

ya’ni

(2) va (3) tengliklardan (1) tenglik kelib chiqadi.
Ma’lumki Q(t_o+Δt) nuqta P(t_o) nuqtaga intilsa Δt nolga intiladi va aksincha Δt nolga intilsa Q(t_o+Δt) nuqta P(t_o) nuqtaga intiladi.
Urinma ta’rifiga asosan Δt→0 da

Lekin Δt→0 da

Demak, Δt→0 da

bo‘lar ekan. Bundan esa

bo‘lib, Δt→0 da

bo‘lishi kelib chiqadi. (5) shart bajarilganda

bo‘lgani uchun (6) tenglikdan

bo‘ladi. Bu yerda bo‘lgani uchun bo‘ladi. Berilgan nuqtadan berilgan vektorga parallel faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tgani uchun ℓ urinma yagona bo‘ladi.
Demak,  chiziqning P(t_o) nuqtasida urinma mavjud bo‘lsa, urinma vektorga parallel bo‘lib, bu urinma yagona bo‘ladi.
Bizga ma’lumki regulyar chiziqning har bir nuqtasida (5) shart bajariladi. Shu sababli regulyar chiziqning har bir nuqtasida (4) ifoda ma’noga ega bo‘lib, (6) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, regulyar chiziqning har bir nuqtasida yagona urinma mavjud bo‘lar ekan.
Endi  chiziqning P(t_o) nuqtasidan o‘tuvchi va vektorga parallel bo‘lgan ℓ to‘g‘ri chiziq  chiziqqa urinma bo‘lishini isbotlaymiz. Buning uchun

deb olsak, yuqoridagi ifodalarga asosan Δt→0 da


bo‘lib, ta’rifga ko‘ra ℓ to‘g‘ri chiziq urinma bo‘ladi.


NAZORAT SAVOLLAR.
№ 1. Chiziq urinmasining ta’rifi.
№ 2. Chiziq urinmasi haqidagi teorema.
№ 3. Quyidagi jumlalardan qaysi biri to‘g‘ri:
1). Chiziqning urinmasi vektorga perpendikulyar yo‘naladi.
2). Chiziqning urinmasi vektorga parallel yo‘naladi.
3). Chiziqning urinmasi vektorga ortogonal yo‘naladi.
4). Chiziqning urinmasi vektor yo‘nalishida bo‘ladi.
A. 1); B. 2); D. 1) va (3); E. 4); F. 2) va 4).