3-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning asosiy usullari

3-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning asosiy usullari.


1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi, uning yechimi mavjudligining zaruriy va yetarli sharti.
Noma’lumlar soni n ta, chiziqli tenglamalari soni m ta bo‘lgan quyidagi tenglamalar sistemasini qaraymiz:
, (3.1)
bunda - sistemaning koeffitsientlari, -noma‘lumlar, -ozod hadlar deyiladi
(3.1) sistema qachon birgalikda (kamida bitta yechimga ega) bo’ladi?
Bu savolga javobni matritsa rangi tushunchasiga asoslanib beramiz.
Sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan

matritsani hamda A matritsaga sistemaning ozod hadlari ustunini birlashtirish natijasida hosil bo’ladigan

matritsani qaraymiz. A matritsa sistemaning matritsasi, esa kengaytirilgan matritsa deb ataladi. ekanligi ravshan.
Teorema (Kroneker-Kapelli). (3.1) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun sistemaning matritsasi A bilan kengaytirilgan matritsaning ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli.
Kroneker-Kapelli teoremasidan chiqadigan xulosalar:
1) bo’lsa, sistema yagona yechimga ega;
2) bo’lsa, sistema cheksiz ko’p yechimga ega;
3) bo’lsa, sistema yechimga ega emas.
1-misol. Ushbu sistema birgalikda bo’ladimi?
Yechish. Sistemaning matritsasi ning rangini topamiz.
Matritsaning birinchi va ikkinchi satrlarini qo’shib to’rtinchi satridan ayiramiz. U holda
  
yoki oxirgi matritsaning birinchi satrini (-3) ga ko’paytirib ikkinchi va uchinchi satrlarning mos elementlariga qo’shsak, quyidagi hosil bo’ladi:
 .
Hosil bo’lgan matritsa diognal matritsa rangi bo’ladi.
Kengaytirilgan

matritsaning rangini hisoblaymiz. A matritsadagi singari elementar alamashtirishlarni bajaramiz:
   
Oxirgi diognal matritsaning rangi bo’lishi ravshan. Demak, kengaytirilgan matritsaning rangi ham 3 ga teng: . Matritsalar bir xil ranglarga ega bo’lganligi uchun sistema birgalikda.