3-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning asosiy usullari

4-misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikdami:
.
Yechish.

~ . U holda . Demak, .
. Demak,
Javob: Sistema birgalikda emas.
2. Tenglamalar sistemasini yechishning asosiy usullari.
Gauss va Gauss-Jordan usullari.
Gauss usuli shundan iboratki, u almashtirishlar yordamida noma’lumlarni ketma-ket chiqarib, so‘ngi tenglamadan faqat bitta noma’lumni qoldiradi.
ta noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik:
(3.2)
Chiziqli tenglamalar sistemasi Gauss usulida yechish 2 bosqichdan iborat.
1-bosqich.
Tenglamalar sistemasini uchburchak shakliga keltiriladi. Bu holda tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘ladi. Uchburchak ko‘rinishga keltirish quyidagicha amalga oshiriladi:
deb quyidagi nisbatlarni tuzamiz:

Agar bo‘lsa, u holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirish yoki noma’lumlarning nomerlarini almashtirish yo‘li bilan yangi sistemada hamma vaqt bo‘lishiga erishamiz.
Gauss metodida birinchi qadam shundan iboratki, birinchi tenglamadan tashqari qolgan tenglamalarda ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamaning har bir hadini ga bo‘lib yozamiz. Natijada berilgan (3.2) sistemaga ekvivalent bo‘lgan ushbu yangi sistema hosil bo‘ladi:

Birinchi tenglamani ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan ayiramiz, so‘ngra birinchi tenglamani ga ko‘paytirib, uchinchi tenglamadan ayiramiz va shu jarayonni davom ettirib, birinchi tenglamadan boshqa barcha tenglamalarda ni yo‘qotamiz:

2-bosqich.
Tenglamalar sistemasining yechimini oxirgi tenglamadan boshlab topib boramiz:
; , … ,
5-misol. Sistemani Gauss usuli orqali yeching: .
Yechish: Berilgan tenglamaning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz:
.
Bundan:
Sistema yechimi:
Agar sistema algebraik almashtirishlar natijasida trapesiya ko‘rinishga ega bo‘lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.