3 bob nochiziqli oddiy differensial tenglamalar uchun etalon tenglamalar usuli

3.2. Nochiziqli ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun «etalon» usuli


sohaga tegishli Emden-Fauler tipli tenglamalarni ko‘rib chiqamiz:


(3.12)
Ayrim aniqliklarni keltiramiz [8-9].
Ta’rif 3.2. (3.12) tenglamaning yechimi oraliqda aniqlangan bo‘lsa, davom ettiriluvchi deyiladi, va aksincha agarda oraliqda aniqlangan bo‘lsa, hamda x₃ nuqtadan keyin davom ettirilmaydigan.
Ta’rif 3.3. (3.12) tenglamaning yechimi tebranmaydigan deyiladi, agarda qaralayotgan intervalda kamida bitta nol bo‘lmasa, va tebranuvchi deyiladi, agarda qaralayotgan intervalda kamida ikkita nuqtada nolga aylansa.

tebranuvchi yechimiga ega bo‘lmasa, u holda notrivial uchun tebranmaydigan (3.14) tenglamaning davom ettirilmagan yechimi bo‘ladi: yo , yo , hollarda, bu yerda - ohirgi tenglamaning qandaydir notrivial yechimi.

Lemma 3.2. Agar funksiya chekli oraliq uchun va integrallanuvchi bo‘lsa, u holda (3.14) tenglamaning ihtiyoriy tebranmaydigan yechim , bo‘ladi.
Lyemmы 3.2 dan ma’lumki,
Izoh 3.1. Agar intilganda bo‘lasa, u holda (3.12) tenglamaning to‘g‘ri yechimi ( ) qiymatda quyidagicha asimptotikaga ega bo‘ladi,


.

[8] usullardan foydalanib, VKB-yechim ko‘rinishda davom ettiriluvchi va davom ettirilmaydigan asimptotik yechimlarni olish mumkin.

,

bu yerda,

.

Odatda, hususiy holda, quyidagiga ega bo‘lamiz,

,

ya’ni, chiziqli tenglamalarda ma’lum bo‘lgan VKB-yechim [8].

Ayrim shartlarni bajarilish natijasida Xardi formasidagi VKB-yechim (3.12) tenglamaning davom ettiriluvchi asimptotik yechim bo‘lishini isbotlaymiz .