3 bob nochiziqli oddiy differensial tenglamalar uchun etalon tenglamalar usuli

3 BOB


Nochiziqli oddiy differensial tenglamalar uchun etalon tenglamalar usuli


3. Etalon tenglamalar usuli

Nochiziqli parabolik, elliptik va parabolik tenglamalar turli sohalarni ifodalashi orqali Emden-Fauler tipidagi tenglamalar hosil bo‘ladi. Bunga misollar keltiramiz.

Parabolik tipli tenglamalarni yechish xossalarini tadqiq qilishda, avtomodel yechish asosiy o‘ringa ega, ya’ni ma’lum ko‘rinishli nochiziqli oddiy differensial tenglamaning yechimini topishdek.

Bu bobda, ikkinchi va uchinchi tartibi nochiziqli oddiy differensial tenglamalarni ayrim sinfi etalon tenglamalar usuli yordamida yechish tadqiq qilinadi [5-12].
Teoremalarni isbotlashda [5-12] ishlarda ko‘rilgan usullardan foydalaniladi.
Avvalo, Emden-Fauler tipli tenglamalarni munosabatini ko‘rib chiqamiz,


(3.1)

bu yerda, va - qandaydir silliq funksiya.

Turli xil hususiy hollarda (3.1) tenglama, ko‘pgina tadqiqotlarga misol bo‘lgan (buni [9] ishlarida kuzatish mumkin). Quyidagi hollarda: Emden-Fauler tenglamaci, σ = -1/2, n = 3/2 – hollarda esa Tomas-Ferma tenglamacidir [8]. x→∞ holati uchun Emden-Fauler tenglamalar asimptotik yechilgan [9]. (3.1) tenglamaning turli hossalari: tebranuvchi monoton yechimlarini mavjudligi (pri) ( bo‘lsa, bo‘ladi) [8-9], holi uchun [10]. Shturm-Liuvill masalasi uchun «etalon» tenglamalarni yechish usuli (VKB usuli) [8] ishda taklif etilgan.
(3.1) tenglamaning asimptotik yechim o‘rnatish natijalarini [2] da topish mumkin, yanada umumiy holni [9]da ko‘rish mumkin.
VKB usul (etalon tenglamalar) M. V. Fedoryunka asoslagan ixtiyoriy tartibli chiziqli oddiy tenglamalar uchun [8].
3.1. VKB-yechimni qurish

VKB-yechimini qurish bilan shug‘ullanamiz. VKB-yechim termini, odatda chiziqli tenglamalar uchun foydalaniladi, endi nochiziqli holi uchun ham foydalanamiz, VKB-yechim formasi uchun chiziqli va nochiziqli hollar bir xildir.

VKB-yechimning ikki variantini ko‘rib chiqamiz.