3 bob nochiziqli oddiy differensial tenglamalar uchun etalon tenglamalar usuli

Teorema 3.3. Faraz qilaylik funksiyasi xohlagan da keltirilgan Lipshis shartini qanoatlantiradi, funksiyalari esa
a) , ;
b) , ;
shartlarini qanoatlantiradi.
v) , xarakteristik tenglamaning yechimlari


,

bu yerda - Korneker simvoli nolga teng emas haqiqiy =ismlarga bo‘laklarga ega. U holda (3.17) tenglamalar sistemasi da nolga intiladigan yagona haqiqiy yechimlarga ega bo‘ladi. Agarda, Re dan tashqari bitta uchun, (3.17) tenglamalar sistemasi uchun da nolga intiladigan cheksiz haqiqiy yechimlar to‘plami mavjud.

Teorema 3.4. Faraz qilaylik, funksiyalari xohlagan da Lipshis shartini qanoatlantiradi, funksiyalari

a) , ;

b) , ;
v) , ,

shartlarini qanoatlantiradi, bu yerda . U holda (3.17) tenglamalar sistemasi da nolga intiladigan hech bo‘lmaganda haqiqiy yechimi mavjud.

belgilashini kiritamiz.

holatini qara ymiz. da ga teng ni, da , da sonlarini tanlaymiz, bu yerda butun sonlar, .
Teorema 3.5. Quyidagi shartlar bajarilsin


, , , (3.18)

bu yerda

; ,

, (3.19)
i

va munosabatlaridan biri.

U holda (3.16) tenglamaning yechimlari VKB yechimlarining mavjudligi uchun


, (3.20)

asimptotikasi bilan

bu yerda


(**)

bo‘lganda, zarurli va yetarli bo‘lsin.

Bundan asimptotik tushuncha (a.t.) o‘rinli bo‘ladi.


. (3.21)


Isbot. Dastlab (**) shartining zarurliligini isbotlaymiz.


(3.22)

almashtirishlarini kiritamiz. (3.16) tenglamani

, (3.23)

turiga keltiramiz, bu yerda . Buyerda va ekanligini belgilab o‘tamiz. Umumiylikni bo‘zmagan holda, ekanligini hisobga olamiz. , bo‘lsa, u holda (3.16) tenglamaning yechimini o‘rganish (3.23) tenglamaning yechimlarini o‘rganish bilan teng kuchli, harbir ba’zibir oraliqda quyidagi xossalarga ega bo‘ladi

(3.18) shartini hisobga olib, (3.23) tenglamaning shunday yechimi noldan farqli da faqat (**) tengsizligining bajarilganda oxirgi chegi ga ega bo‘ladi. Haqiqatda esa, bu yechimlarning xohlaganini (3.23)ga qo‘yib va

deb faraz qilib,

ayniyatiga ega bo‘lamiz.

Oxirgi munosabatning o‘ng tomoniga mos keluvchi yordamchi funksiyani qaraymiz

bu yerda – haqiqiy son.

tenglamani qanoatlantiradigan qiymatidan farqli, har bir qiymatida
funksiyasi ba’zibir oraliqda o‘z ishorasini saqlaydi.
Shunday qilib, harbir fiksirlangan qiymat va uchun oraliqda bo‘ladi yoki bo‘ladi. Shuning uchun funksiyasi uchun oraliqda limiti mavjud. U holda bo‘lganda . Bundan va uchun ifodasidan funksiyasining hosilasi da faqat nolga teng oxirgi limitga erishadi. Shunday ekan,

yoki

.

Bundan keyin

formulasini olamiz. bo‘lganda, u holda oxirgi tenglamadan (**) sharti (3.22) uchun zarurli. (3.22) almashtirish evaziga va ga bog‘liq va (**) shartining zarurligi isbotlandi.

(**) shartining bajarilgan deb faraz qilamiz. Almashtirishlar yordamida

tenglamalar sistemasiga kelamiz

(3.17)
bu yerda

Bu tenglamalar sistemasini sohada qaraymiz. Demak, da , u holda D sohada funksiyasi xohlagan da Lipshis shartini qanoatlantiradi. deb belgilaymiz. (3.18) dan 3.3 teoremaning a) va b) shartlari bajariladi, faqat v) shartini o‘rganish qoladi.

«Cheklidagi xarakteristik tenglamani» qaraymiz

bu yerda

(3.17')

tenglamalar sistemasining chiziqli bo‘limiga mos keluvchi). Bu tenglama

yechimlarga ega bo‘ladi. (3.19) munosabatlarni hisobga olib va yechimlari uchun mumkin bo‘lgan holatlarni o‘rganamiz.

A) , ya’ni va yechimlari haqiqiy va har xil ishorada. 3.3 teoremaga tayanib (3.17') tenglamalar sistemasi da nolga intiladigan cheksiz haqiqiy yechimlar to‘plamiga ega bo‘ladi.
B) va va yechimlari musbat haqiqiy bo‘limlarga ega. Shuning uchun 3.3 teoremaning asosida (3.17') tenglamalar sistemasiga da nolga intiladigan eng bo‘lmaganda yagona haqiqiy yechim mavjud bo‘ladi.
V) va Bu holatda va yechimlari manfiy haqiqiy bo‘limlarga ega. 3.1 teoremaga tayanib,

boshlang‘ich shartini qanoatlantiruvchi da nolga intiladigan shunday va o‘zgarmaslar mavjud bo‘lsin.

Shuning uchun, va (3.22) ni bilan bog‘lovchi almashtirishlarni hisobga olib, (**) shartining yetarliligi isbotlanganligini tasdiqlaymiz.