3 bob nochiziqli oddiy differensial tenglamalar uchun etalon tenglamalar usuli

Ta’rif 3.1. Funksiyani


(3.2)

bu yerda - quyidagi tenglamaning yechimi

, (3.3)

(3.1) tenglamaning Xardi formasidagi VKB–yechim deb nomlaymiz

, (3.4)

bu yerda,

,

VKB-yechim deb ataymiz.

(3.4) funksiya holati uchun l-chi tartibli chiziqli tenglamaning VKB-yechimga aylanadi.
(3.4) funksiyaning m=0 holati uchun bir mahsus hossasini keltiramiz.
Agar


(3.5)


- bo‘yicha funksiyaning invarianti yoki Shvarsning ihtiyoriysidir. U holda (3.4) funksiya hollari uchun quyidagi shartni qanoatlantiradi

Hususan, agar bo‘lsa, u holda (3.4) VKB-yechim, (3.1) tenglamaning aniq yechimi hisoblanadi ( ). Shunday qilib, agar va , u holda VKB-yechim (3.4) agarda tenglamaning aniq yechimi.

shart (3.1) tenglamani qiymatlarda integrallash shartidir. Bundan bo‘lsa, Leko [8] integrallash sharti hosil bo‘ladi.
Endi (3.2), (3.4) funksiyani tuzish usulini ko‘ramiz.
(3.1) yechimni quyidagi ko‘rinishda izlaymiz


, (3.6)

bu yerda – hozircha hali aniqlanmagan funksiya, (3.1) ifodaga qo‘yish orqali quyidagiga ega bo‘lamiz,

Bundan funksiyani quyidagi shartdan tanlab olamiz,

, ya’ni ,
esa (3.3) tenglamani qanoatlantiradi.
Shuni ta’kidlash kerakki, ajoyib natija orkali huddi avvalgidek natijaga ega bo‘lamiz.
Teoremalar Xardi [8]. Agar – funksiya, Xardiga formasiga tegishli bo‘lsa, u xolda
a) agar funksiya nisbatan cheksiz ketma-ketlik ega bo‘lsa, u holda ihtiyoriy butun soni uchun quyidagi ifoda o‘rinli


(3.7)


b) agar funksiya nisbatan chekli μ ketma-ketlikka ega bulsa, u xolda ixtiyoriy soni uchun kuyidagi ifoda urinli


, (3.8)


bu holatdan boshqa, – musbat butun son, hamda .
Shu hol uchun va keyinchalik munosabat, , o‘rinli bo‘ladi, hamda bo‘lsa, bo‘ladi.
Endi (3.4) masalaning quyilishi bilan shug‘ullanamiz, buning uchun,

bu yerda, – oraliqqa tegishli hali aniqlanmagan differensiallanuvchi funksiya, esa (3.3) tenglamaning yechimi.

funksiyani (3.1) qo‘ysak, u holda quyidagi munosabatga ega bo‘lamiz,


. (3.9)
va quyidagi shardan tanlaymiz
, (3.10)
.

(3.10) tenglamalar sistemasini integrallasak, quyidagi ifodaga erishamiz,

,
.

Demak, (3.3) bir parametrli yechimlar oilasiga ega,

,
, (3.11)

bu yerda – ihtiyoriy o‘zgarmas.

Bu bobda biz etalon usullarini asoslash orqali Emden-Fauler tipli ikkinchi va uchinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarga qo‘llash bilan shug‘ullanamiz.
Shuning dek, yuqorida tuzilgan birinchi va ikkinchi tipli VKB-yechim ishlatiladi.