3 bob nochiziqli oddiy differensial tenglamalar uchun etalon tenglamalar usuli

Teorema 3.2. Agar , ligida , buladi. U holda (3.12) tenglamaning mahsus yechimi , munosabatdan aniqlanuvchi, asimpto­tik ko‘rinishga ega,


, ,

bu yerda o‘zgarmas , .

Isbot. Xardi formasidagi VKB-yechim bu holda quyidagi ko‘rinishga ega,





nuqtaning chap atrofida funksiya (3.12) tenglamaning mahsus asimptotik yechimiga ega. (3.12) tenglamaning yechimini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz,


, .

So‘ng, (3.12) tenglamada ni o‘rniga qo‘ysak, quyidagiga ega bo‘lamiz,

.


funksiya , aniqlangan. Demak, biz lemmu 3.5 foydalanamiz. bo‘lganda, egamiz, 3.2 teoremani o‘rinligini isbotlaydi.
dan katta silliqlikni talab etsak, masalan , isbotlanadi, (3.12) tenglama mahsus yechim, asimptotikaga ega bo‘lamiz,


.


nuqta tenglamani yechish orqali topiladi.
Bundan, , ,
,

yana chiziqli tenglamalar holatlarda ma’lum bo‘lgan VKB-yechimga ega bo‘lamiz. Demak, VKB-yechim (3.12) tenglamaning yaqinlashuvchi hususiy yechim qatoridan qoplovchi xossalariga o‘tadi, ya’ni yetarlicha katta sinf uchun yechim qaralayotgan funksiya aynan VKB-yechimga intiladi.

Endi, (3.4) tenglamaning VKB-yechim ko‘rinishdagi asimptotikani tekshirishga o‘tamiz,


, , , (3.16)

bu yerda, , , . (3.16) tenglama-ning Xardi formasidagi VKB-yechim asimptotik ko‘rinshdagi yechim V. Yevtuxovыm tomonidan aniqlangan [8].

Avvalo, (3.16) tenglamaning asimptotik yechimini aniqlashga o‘tamiz, differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz,


(3.17)

bu yerda funksiya , , uzluksiz, hamda

,

sohada o‘zgaruvchilar uzluksizdir.

Faraz qilaylik, funksiya Lipщis shartini qanoatlantirsin,

bu yerda, , va , ~ D sohadagi ihtiyoriy nuqtalar, hamda . Quyidagi tasdiq o‘rinlidir.