3 I bob. Turli ko‘rinishda berilgan funksiyalar

Mundarija.
Kirish........................................................................................................................3
I Bob. Turli ko‘rinishda berilgan funksiyalar.....................................................3
1.1-§.Funksiya ta’rifi va uning berilish usullari……………………………………6
1.2-§.Teskari va murakkab funksiyalar…………………………………………….8
1.3-§.Oshkormas va parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyalar………………..10
II Bob. Turli ko‘rinishda berilgan funksiyalarning hosilalari………………..16
2.1-§. oshkor ko‘rinishda berilgan funksiyalarning hosilalari....................16
2.2-§.Murakkab funksiyaning hosilalari………………………………………….21
2.3-§.Teskari funksiyaning hosilalari……………………………………………..29
2.4-§.Parametrik ko‘rinishida berilgan funksiyaning hosilalari…………………..32
2.5-§.Oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilalari…………………...44
2.6-§.Logarifmik differensiallash............................................................................54
2.7-§.Qutb koordinatalarida berilgan funksiyaning hosilasi ..................................58
Xulosa......................................................................................................................64
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhati..........................................................................65

2.7-§. Qutb koordinatalarida berilgan funksiyaning hosilasi
Egri chiziqning qutb koordinatalaridagi
(2.7)
tenglamasiga ega bo‘laylik. Qutb koordinatalaridan to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalariga o‘tish formulalarini yozamiz:

Bu yerda o‘rniga uning orqali ifodasini (2.7) tenglamadan olib qo‘yamiz:
(2.8)
Bu (2.8) tenglamalar berilgan egri chiziqning parametrik tenglamalaridir, bunda parameter qutb burchagi dir (14-rasm).
Agar egri chiziqning biror nuqtasidagi urunmaning abssissa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan tashkil qilgan burchagini bilan belgilasak, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

14-rasm

yoki
(2.9)
Radius – vektor yo‘nalishi bilan urinma orasidagi burchakni bilan belgilaymiz:

ekanligi ravshan, Bu yerda o‘rniga uning (2.9) ifodasini qo‘yib va ixchamlashtirib, shuni hosil qilamiz:

yoki
(2.10)
Shunday qilib, radius – vektorning qutb burchagi bo‘yicha hosilasi radius – vektor uzunligining radius – vektor va egri chiziqning berilgan nuqtasidagi urinma orasidagi burchak kotangensi bilan ko‘paytmasiga teng.
1-misol. logarifmik spiralga urinma radius – vektor bilan o‘zgarmas burchak ostidagi kesishganligi ko‘rsatilsin.
Yechish. Spiral tenglamasidan

ni topamiz. (2.10) formulaga asosan
ya’ni

Agar o‘zgaruvchining har bir qiymatiga ma’lum vektor to‘g‘ri kelsa, u holda bu vektor t skalyar argumentning vektor funksiyasi deyiladi va bunday belgilanadi:

vektor funksiyaning berilishi uchta skalyar funksiya: vektor koordinatalarining berilishiga teng kuchli:

yoki qisqacha:
Agar o‘zgaruvchi vektorning boshi koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushsa, ya’ni u nuqtaning radius-vektori bo‘lsa, u holda vektor funksiya bunday belgilanadi:

vektorning oxirgi fazoda chizadigan L chiziq vektor funksiyaning godografi deyiladi. Koordinatalar boshi godograf qutbi deyiladi.
Agar vektorning moduligina o‘zgarsa-yu, yo‘nalish o‘zgarishsiz qolsa, godograf qutbdan chiqadigan nur bo‘ladi.
Agar vektorning moduli o‘zgarishsiz ( ) qolsa-yu, uning yo‘nalishigina o‘zgarsa, u holda markazi qutbda, radiusi esa ga teng bo‘lgan sferada yotuvchi chiziq godograf bo‘ladi.
Fazodagi hamma chiziqni biror vektorning godografi deyish mumkin.
Godografning parametrik tenglamalari ushbu ko‘rinishda yoziladi:

bu yerda o‘zgaruvchi parameter deyiladi.
vektor funksiyaning parameter bo‘yicha hosilasi yangi vektor funksiyasi bo‘lib, ushbu tenglik bilan aniqlanadi:


Vektor funksiyaning hosilasi ushbu formula bo‘yicha hisoblanadi:

Vektor funksiyani differensiallashning asosiy qoidalarini keltiramiz (bunda ):

1. 
   
   
2. 
   bu yerda o‘zgarmas vektor.
   
3. 
   bu yerda o‘zgarmas son.
   
4. 
   bu yerda ning skalyar funksiyasi.
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   bu yerda ning skalyar funksiyasi.
   

Agar bo‘lsa, u holda hosila vektor bo‘lib, vektor funksiyaning godografiga o‘tkazilgan urinma bo‘ylab t parametrning o‘sishi tarafiga yo‘nalgan bo‘ladi.
2-misol.Ushbu

vektor funksiyaning dagi birlik urinma vektorini toping.
Yechish. vektorning godografiga urinma birlik vektori ga teng. Bu vektorning modulini hisoblaymiz:

ning dagi qiymati ga teng,
Shunday qilib, izlanayotgan birlik vektor bunday yoziladi:
3-misol. Ushbu
va
vektorlar o‘zaro perpendikulyar vektorlar ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Berilgan skalyar argumentli funksiya hosilasini topamiz:
Endi va vektorlarning skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz.
Demak, va vektorlar o‘zaro perpendikulyar ekan.
4-misol. Ushbu

vektor funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.

Xulosa
Ushbu BMI kirish, 2 ta bob, xulosa, adabiyotlar ro‘yhatidan iborat. Kirish qismida mavzuning dolzarbligi, jumladan funksiya hosilasi matematik analizning fundamental tushunchalaridandir biri ekanligi haqida yozilgan. Funksiyalarni tekshirishda hosilaning tadbiqlari benihoya kattadir. Funksiyalarni ko‘rinishiga qarab hosilasini olish qoidalarini o‘rganish va turli funksiya bilan bog’liq masalalarni hal qilishda bu qoidalarni qo‘llashni bilish muhimdir. Bituruv malakaviy ishimizda oshkor va oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyalar hosilalarini topish haqida batafsil ma'lumotlar berilgan.

1-bob “Turli ko‘rinishda berilgan funksiyalar” deb nomlanib, 3 ta paragrafni o‘z ichiga oladi. Bunda funksiya ta’rifi va uning berilish usullari, teskari va murakkab funksiyalar, oshkormas va parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyalar haqida ma’lumotlar berilgan.
2-bob “Turli ko‘rinishda berilgan funksiyalarning hosilalari” deb nomlanib 7 ta paragrafni o‘z ichiga oladi. Bunda oshkor ko‘rinishda berilgan funksiyalarning hosilalari, murakkab va teskari funksiyaning hosilalari, parametrik ko‘rinishida va oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilalari haqida batafsil ma’lumotlar berilgan. Logarifmik differensiallash va qutb koordinatalarida berilgan funksiyaning hosilalariga doir nazariy ma’lumotlar berilgan va kerakli misollar yechib ko‘rsatilgan.
Bu BMIda keltirilgan nazariy ma’lumotlardan va misollardan kelgusida umumiy o‘rta ta’lim va akademik litsey algebra darslarida va oliy ta’lim muassasalarida matematik analiz fanlarida foydalanish mumkin.