3-kurs 304-guruh talabasi ning matematika fizikaning qo’shimcha boblari fani

Gipergeometrik funksiyani analitik davom ettirish. (1.7) tenglamaning doirada aniqlangan regulyar yechimi ni o‘zgaruvchining butun kompleks tekisligiga analitik davom ettirish mumkin. funksiyaning analitik davomini ham simvol bilan belgilaymiz va u (1.9) qatorning doiradan tashqariga davom ettirilgan analitik funksiyasining bosh shoxchasini ifodalaydi.

gipergeometrik funksiyani analitik davom ettirishni xususan Eylerning ushbu


, (1.17)
, ,

gipergeometrik integrali yordamida amalga oshirish mumkin.

(1.17) tenglikning chap tomonidagi integral kesimli butun kompleks tekislikda regulyar funksiyani beradi. (1.17) tenglikni isbotlash uchun analitik davom ettirish prinsipiga ko‘ra, uni doira ichida tekshirish yetarlidir. funksiyani ning darajalari bo‘yicha binomial qatorga yoyamiz va bu yoyilmani ga ko‘paytirib, bo‘yicha oraliqda hadma-had integrallaymiz va (1.5) formulani qo‘llab, ushbu:


(1.17)

formula , bo‘lganda ni hisoblashga imkon beradi:

. (1.18)

(1.17) integralda

, , ,

almashtirishni bajarib, ushbu

ya’ni

, (1.19)

formulani hosil qilamiz.
(1.19) formula avtotransformatsiya formulasi deyiladi.
Argumentlari va bo‘lgan gipergeometrik funksiyalar o‘rtasida funksional munosabatlarni keltirib chiqaramiz. va doiralarning kesishmasida (1.7) tenglama yechimi shu tenglamaning chiziqli erkli yechimlari va larning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi:


(1.20)
.


funksiya parametrlarning analitik funksiyasidan iborat, demak (1.20) formuladagi va koeffitsientlar ham parametlarning analitik funksiyasi bo‘ladi. va koeffitsientlarni aniqlashda biz parametlarga shunday «qulay» shartlarni qo‘yamizki, ular analitik davom ettirish prinsipi yordamida shunday minimal shartlarga keltiriladiki, bu shartlarda oxirgi natija ma’noga ega bo‘lmagan ifodalarga ega bo‘lmaydi.
(1.20) tenglamaning o‘ng tomoni nuqtada parametrlarining ixtiyoriy qiymatida ma’noga ega, chap tomonining chekliligi ifodaning ishorasiga bog‘liq.

1. bo‘lsin, u holda (1.20) da deb hisoblab, ushbu

tenglikka kelamiz.

2. bo‘lsin. (1.20) tenglikning chap tomoniga avtotransformatsiya formulasi (1.19) ni qo‘llab, hosil bo‘lgan tenglikni ifodaga ko‘paytirib va oxirgi natijada deb hisoblab, ushbu

tenglikka kelamiz.

Aniqlangan va koeffitsientlarni (1.20) tenglikka qo‘yib, ushbu


(1.21)

Bols formulasini hosil qilamiz [1].

(1.21) formula gipergeometrik funksiyani sohadan sohaga analitik davomini beradi.
(1.17) formuladagi integralda integral o‘zgaruvchisini formula bilan almashtirib, ushbu

yoki (1.17) ni hisobga olib,

(1.22)

formulaga kelamiz.

bo‘lganda, tengsizlik o‘rinli. Shunday qilib, (1.22) formula funksiyani doiradan yarim tekislikka analitik davomini beradi. (1.22) formulada o‘rniga almashtirish bajarib, (1.22) formulani ushbu:


(1.23)

ko‘rinishda yozib olamiz.

Gipergeometrik funksiyalar o‘rtasida boshqa funksional munosabatlarni keltirib chiqarilgan formulalarning kombinatsiyalari yordamida hosil qilish mumkin. Masalan, (1.22) va (1.21) formulalarni ketma-ket qo‘llab, ushbu

(1.24)

funksional munosabatni hosil qilamiz, bu formula gipergeometrik funksiyani doiradan sohaga analitik davom ettirish imkonini beradi. Yana (1.24) va (1.22) formulalarni ketma-ket qo‘llab, ushbu

, (1.25)
.

formulaga ega bo‘lamiz, bu formula gipergeometrik funksiyani doiradan sohaga analitik davomini beradi.

Nihoyat, (1.21) va (1.23) formulalarni ketma-ket qo‘llab, ushbu


(1.26)
,

formulaga ega bo‘lamiz, bu formula gipergeometrik funksiyani doiradan sohaga analitik davom ettirish imkonini beradi.