3-kurs 304-guruh talabasi ning matematika fizikaning qo’shimcha boblari fani

5. Ikki o‘zgaruvchili gipergeometrik funksiya. Ushbu ikkita ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni o‘rganamiz:
(1.55)


(1.56)
bu yerda -noma’lum funksiya.


Ta’rif. Ikki va o‘zgaruvchili gipergeometrik funksiya deb:
(1.57)


qator bilan aniqlanuvchi funksiyaga aytiladi.
Bu funksiya birgalikda bo‘lgan (1.55) va (1.56) tenglamalarning yechimi bo‘ladi. (1.57) qator sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Pikar ikki o‘zgaruvchili gipergeometrik funksiya ushbu


(1.58)

aniq integral yordamida aniqlanishini isbotlagan, bu yerda

-gipergeometrik funksiyaning asosiy xossalari:
1⁰. Ushbu
(1.59)

tenglik o‘rinli.

2⁰. Rekurrent munosabatlar:

(1.60)

(1.61)
3⁰. Differensiallash formulalari:


, (1.62)
, (1.63)





(1.64)

4⁰. Parametrlarning xususiy qiymatlarida bir o‘zgaruvchili gipergeometrik funksiya orqali ifodasi:

(1.65)
5⁰. O‘zgaruvchilarning xususiy qiymatlarida bir o‘zgaruvchili gipergeometrik funksiya orqali ifodasi:


(1.66)
,


, (1.67)
,

(1.68)
6⁰. Quyidagi tengliklar o‘rinli:
(1.69)


(1.70)


(1.71)
(1.72)