3-kurs 304-guruh talabasi ning matematika fizikaning qo’shimcha boblari fani

3. Elementar munosabatlar. gipergeometrik funksiyaning uning bevosita (1.9) qator bilan aniqlangan ifodasidan kelib chiqadigan xossalarini o‘rganamiz. Masalan, ushbu


(1.27)

formulani isbotlaymiz.

(1.27) ning chap tomonini (1.9) ga asosan darajali qatorlarga yoyamiz, bu yoyilmada oldidagi koeffitsient ushbu:


,

ko‘rinishga ega. Bu esa (1.27) ning chap tomonini qator yoyilmasidagi oldidagi koeffitsientni beradi. Shunday qilib, (1.27) tenglik isbot bo‘ldi.

Ushbu oltita:

funksiyalar funksiya bilan yondosh funksiyalar deyiladi. va unga ixtiyoriy ikkita yondosh funksiyalar o‘rtasida koeffitsientlari ga nisbatan chiziqli funksiya bo‘lgan bog‘liqlik mavjud. Bu bog‘liqliklarning 15 turi mavjud bo‘lib, uni birinchi marta Gauss topgan. Quyida bu munosabatlarning to‘liq jadvalini keltiramiz, bu munosabatlarda yozuvni soddalashtirish maqsadida ni bilan, larni esa mos ravishda deb belgilaymiz.

, (1.28)
, (1.29)
, (1.30)
(1.31)
, (1.32)
, (1.33)
, (1.34)
, (1.35)
(1.36) (1.37)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)

Agar yondosh gipergeometrik funksiyalarda ikkita parametr bir xil bo‘lsa, ular o‘rtasida ushbu munosabatlar o‘rinli:

(1.43)

(1.44)

(1.45)


4. Gipergeometrik funksiyalarni differensiallash qoidalari.
ifodani va parametrlarning ba’zi bir qiymatlarida differensiallash qoidalarini keltiramiz:


(1.46)
(1.47)


(1.48)
(1.49)

(1.50)


(1.51)

(1.52)

(1.53)

(1.46) formulani matematik induksiya metodi yordamida isbotlaymiz. (1.46) formuladan da ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:

(1.54)
Haqiqatdan ham, gipergeometrik qator (1.9) ga ko‘ra



tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, da (1.46) formula to‘g‘ri. Faraz qilaylik, bu formula da to‘g‘ri bo‘lsin, u holda

Bu yerda (1.54) tenglikni hisobga olib,

tenglikka kelamiz. Shu bilan (1.46) formula isbot bo‘ldi.

(1.47)-(1.53) formulalar ham yuqoridagi usulga o‘xshash isbotlanadi.