3-ma’ruza. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning gauss usuli. Reja

3-MA’RUZA. CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING GAUSS USULI.
Reja

1. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sisitemasini geometik tasvirlash.
   
2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
   

Tayanch ibоra va tushunchalar

Satr tasviri, tenlamalar sistemasining vektor-matritsaviy yozuvi, ustun tasviri, noma’lumlarni yoʻqotish, Gauss usuli.

1. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini geometik tasvirlash
   

Bizga ikki noma’lumli ikkita chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin. Uning umumiy koʻrinishi quyidagicha boʻladi:

(1)

Bu yerda - noma’lumlar, - koeffitsientlar, - ozod sonlar.

Sistemaning har bir tenglamasi tekislikda bitta toʻgʻri chiziqni ifodalaydi.

Masalan,

(2)

tenglamalar sistemasini koʻrib chiqamiz va har bir satrining tekislikdagi geometrik tasvirini yasaymiz(1-shakl).

1-shakl

Satrlar tasviridan (2) tenglamalar sistemasining yechimi nuqta, ya’ni ekanligi aniqlanadi.

Xuddi shu kabi, berilgan algebraik tenglamalar sistemasining ustun tasvirini ifodalaymiz. Buning uchun tenglamalar sistemasining vektor-matritsaviy yozuvda ifodalaymiz, . Bu yerda A matritsa noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan, vektorlar esa mos ravishda noma’lum sonlar va ozod sonlardan tuzilgan:

Bu koʻpaytmani matritsa ustunlarining chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalasak,

Shunday yechim topish kerakki, va vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi uchunchi bir vektorni hosil qilsin. Bizning misolimizda bu sonlar boʻladi:

.

Tekislikda bu yozuvni quyidagicha tasvirlash mumkin:

2-shakl

Savol: Uchunchi vektorni har doim berilgan ikki vektor kombinatsiyasi orqali ifodalash mumkinmi, yoʻq boʻlsa, qanday hollarda ifodalab boʻlmaydi?

Endi xuddi shu tasvirlashlarni uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasi uchun qoʻllaymiz.

Masalan,

(3)

tenglamalar sistemasini koʻrib chiqamiz va har bir satrining fazodagi geometrik tasvirini yasaymiz. Har bir chiziqli tenglama tenglama fazoda bitta tekislikni ifodalaydi(3-shakl). Bu uchta tekislik uchun uch hol boʻlishi: uchala tekislik bitta umumiy nuqtada kesishishi; uchala tekislik bitta toʻgʻri chiziqda kesishishi; uchala tekislikga tegishli birorta ham umumiy nuqtada boʻlmasligi mumkin.

3-shakl

Endi berilgan (3) tenglamalar sistemasini vektor-matritsaviy yozuvda ifodalaymiz.

.

Demak,

.

Har bir ustun fazoda bir vektorni ifodalaydi.

4-shakl

Bizning misolimizda uchunchi va toʻrtinchi ustun bir xil boʻlgani uchun chiziqli kombinatsiyadagi noma’lumlar qiymatlarni qabul qiladi.

Savol: Toʻrtinchi vektorni har doim ham uch vektorning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalab boʻladimi?

2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
   

Bizga n ta no‘ malumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin.

(4)

Bu yerda , - noma’lumlar, - koeffitsientlar, - ozod sonlar. Bunday tenglamalar sistemasini elementar almashtirishlar yordamida, uchburchak yoki trapetsiya shakliga keltirish mumkin. Faraz qilaylik, boʻlsin(aks holda tenglamalar oʻrnini almashtirish mumkin). Birinchi tenglamani ga koʻpaytirib 2-tenglamaga, ga koʻpaytirib 3-tenglamaga va hakozo ga koʻpaytirib m-tenglamaga qoʻshamiz va quyidagi ekvivalent sistemani hosil qilamiz:

(5)
Bunda deb faraz qilib, 2-tenglamani ga koʻpaytirib i-tenglamaga qoʻshamiz va 3-dan boshlab barcha tanglamalardan noma’lum yoʻqoladi. Bu usulni m-1 marta qoʻllab, quyidagi ekvivalent sistemani hosil qilamiz:

(6)

Agar bu matritsada lardan kamida bittasi noldan farqli boʻlsa, (4) sistema yechimga ega boʻlmaydi. Agar larning barchasi nolga teng boʻlsa, berilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimga ega boʻladi va bunda ikki hol boʻlishi mumkin. Birinchi holda, (6) sistema uchburchak shaklga keladi, ya’ni va sistema yagona yechimga ega. Yechimlarni aniqlashda oxirgi tenglamadan oxirgi noma’lumni topishdan boshlanadi, topilganlarni bitta oldinga tenglamaga qoʻyib bitta oldingi noma’lum topiladi va bu jarayon birinchi noma’lum topilguncha davom ettiriladi. Ikkinchi holda, (6) sistema trapetsiya shaklga keladi va sistema cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi. Oxirgi tenglamadagi birinchi noma’lumdan boshqa barcha noma’lumlarni erkli son deb, barcha tenglamalarda tenglikning oʻng tomoniga oʻtkaziladi va qolgan noma’lumlar uchbuchak shakldagi kabi aniqlanadi.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechishda uning matritsaviy yozuvidan foydalanish qulay.

1-misol. Ushbu sistemani Gauss usulida yeching:

►Berilgan tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasini va ga koʻpaytirib, mos ravishda 2- va 3-tenglamalarga qoʻshamiz.

Bu holda, 2- va 3-tenglamalar oʻrinlarini almashtiramiz, chunki .

Oxrgi tenglamadan oxirgi noma’lumni topamiz.

Soʻngra, ni ikkinchi tenglamaga qoʻyib, y ni topamiz:

, .

Endi va ni 1- tenglamaga qoʻyib, x ni topamiz:

, .

Demak, ,,.◄

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechishda uning matritsaviy yozuvidan foydalanish qulay. Bu mavzuni keying ma’ruzada batafsil keltirib oʻtamiz.

Mustahkamlash uchun savоllar

1. 
   Ikki noma’lumli chiziqli algebraik tenglamalar sitemasi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasining satr tasviri nima? U nimani aniqlaydi?
   
3. 
   Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasining ustun tasviri nima? U nimani aniqlaydi?
   
4. 
   Tenglamalar sistemasining vektor-matritsaviy ifodasi qanday?
   
5. 
   Uch noma’lumli tenglamalar sistemasining satr tasviri nima? U nimani aniqlaydi?
   
6. 
   Uch noma’lumli tenglamalar sistemasining ustun tasviri nima? U nimani aniqlaydi?
   
7. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli nima?
   
8. 
   Qanday hollarda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimga ega boʻlmayadi?
   
9. 
   Qanday hollarda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimi yagona boʻladi?
   
10. 
    Qanday hollarda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimi cheksiz koʻp boʻladi?