3-Mavzu. Matematik analizga kirish

Hosilaga ega bo‘lgan funksiyaning uzluksizligi (Mustaqil ta’lim uchun)

f(x) funksiyaning hosilasi faqat bu funksiya uzluksiz bo‘lgan nuqtalardagina mavjud bo‘lishi mumkinligini ko‘rsatamiz. Oldin ushbu teoremani qaraylik.

Teorema. Agar f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Isbot. Faraz qilaylik, f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. Demak, ushbu limit mavjud va f’(x) ga teng. Bizga agar funksiya chekli limitga ega bo‘lsa, uni limit va cheksiz kichik yig‘indisi ko‘rinishda ifodalash mumkinligi ma’lum ( ). Bizning holimizda limitga ega bo‘lgan funksiya deb funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatini olamiz. U holda ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi:

=f’(x)+,

bu erda =(x) va=0. Bundan funksiya orttirmasi y=f(x+x)-f(x) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkinligi kelib chiqadi:

y=f’(x)x+x (1)

Bu tenglikdan, agar x0 bo‘lsa, u holda y0 bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiyaning x nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.

Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni funksiyaning nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada hosilasi mavjudligi kelib chiqavermaydi. Masalan, y=|x| funksiya x ning barcha qiymatlarida, xususan x=0 nuqtada uzluksiz, ammo x=0 nuqtada hosilaga ega emas. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi y=|x| bo‘lib, undan va nisbatning x0 dagi limiti mavjud emasligi kelib chiqadi, demak f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas.