3-Mavzu. Matematik analizga kirish

Ikki chiziq orasidagi burchak

Urinmalar yordamida ikki egri chiziq orasidagi burchak tushunchasi ta’riflanadi.

Ta’rif. Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ularning kesishish nuqtasida shu chiziqlarga o‘tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.

Bu ta’rifdan foydalanib ikki chiziq orasidagi burchak tangensini topish mumkin. Faraz qilaylik y=f₁(x) va y=f₂(x) chiziqlar M₀(x₀;y₀) nuqtada kesishsin, hamda y=f₁(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma abssissa o‘qi bilan  burchak, y=f₂(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma esa  burchak tashkil qilsin. (3-chizma)

Agar  urinmalar orasidagi burchak bo‘lsa, u holda =- bo‘ladi. Bundan esa

tg=tg(-)=

tenglikka ega bo‘lamiz.

Ammo hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tg=f₁’(x₀) va tg=f₂’(x₀), demak ikki chiziq orasidagi burchak uchun

tg= (3.4)

formula o‘rinli bo‘ladi. 12-chizma

3-misol. y=x² parabola va giperbolalar orasidagi burchakni toping. Yechish. Avvalo parabola va giperbolaning kesishish nuqtasini topamiz. Buning uchun ushbu sistemani yechamiz. Bundan , x³=1, x=1 bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, sistemaning yolg‘iz (1,1) yechimi mavjud. (x²)’=2x bo‘lgani uchun f₁’(1)=2, shuningdek, bo‘lgani uchun f₂’(1)=-1 bo‘ladi. Demak, (3.4) formulaga ko‘ra bo‘lib, bundan burchak kattaligi uchun =arstg3 tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi.

Quyida keltirilgan teoremalar isbotida hosila topish algoritmidan, limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalardan foydalanamiz. Shuningdek u=u(x+x)-u(x) va v=v(x+x)-v(x) ekanligini hisobga olgan holda, u(x+x)=u(x)+u, v(x+x)=v(x)+v tengliklardan foydalanamiz. u(x) va v(x) funksiyalar (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin.