3-Mavzu. Matematik analizga kirish

Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari.

Faraz qilaylik, funksiya nuqtada ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lsin.

6−ta’rif. funksiya differensiali ning nuqtadagi differensiali funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi. Funk-siyaning ikkinchi tartibli differensiali yoki kabi belgilanadi:

yoki

Endi differensiallash qoidasidan foydalanib topamiz:

Demak,

bunda

Xuddi yuqoridagiga o’xshash, nuqtada funksiyaning 3–tartibli differensiali ta’riflanadi:

bunda Umuman funksiyaning tartibli differensiali dan olingan differensial funksiya nuqtadagi tartibli differensiali deb ataladi va u yoki kabi belgilanadi:

yoki .

Bu holda funksiyaning tartibli differensiali uning tartibli hosilasi orqali quyidagi

ko’rinishda ifodalanadi. Uning to’g’riligini matematik induksiya usuli yorda-mida isbotlash mumkin.

va funksiyalar intervalda aniqlangan bo’lib, ular nuqtada tartibli differensialga ega bo’lsin. U holda ushbu

formulalar o’rinli bo’ladi.

Endi murakkab funksiya ning differensialini hisoblaymiz. Ma’lumki, funksiyaning differensiali

bo’lib, u

ko’rinishga ega bo’ladi.

Demak, funksiya murakkab bo’lgan holda ham funksiya differensiali funksiya hosilasi bilan (bu holda argument bo’ladi) argument ning differensiali ko’paytmasidan iborat ekanini ko’ramiz. Odatda bu xossani differensial formasining invariantligi deyiladi. Bunda formuladagi argument ning ixtiyori orttirmasi ni bildiradi, formuladagi esa o’zgaruvchiga bog’liq bo’ladi.

Endi murakkab funksiyaning ikkinchi tartibli differensia-

lini hisoblaymiz. Ta’rifga ko’ra

bo’ladi. Differensiallash qoidasidan foydalanib topamiz:

bunda

Demak,

Bu formula bilan formulani taqqoslab, ikkinchi tartibli differensiallar differensial formasining invariantligi xossasiga ega emasligini ko’ramiz.

funksiyaning uchinchi va hokazo tartibli differensiallari yuqoridagidek birin-ketin hisoblanadi.