3-Mavzu. Matematik analizga kirish

Yig‘indining hosilasi

1-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalarning x(a,b) nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va

f’(x)=u’(x)+v’(x) (1)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot

1⁰. f(x)=u(x)+v(x).

2⁰. f(x+x)= u(x+x)+ v(x+x)= u(x)+u+ v(x)+v.

3⁰. y= f(x+x)- f(x)= u+v.

4⁰. .

5⁰. .

Shunday qilib, (1) tenglik o‘rinli ekan.

Misol. (x²+1/x)’=(x²)’+(1/x)’=2x-1/x².

Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin:

Natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalarning x nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)= u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

f’(x)=( u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x))’= u’₁(x)+ u’₂(x+ ...+u’_n(x) .

Ko‘paytmaning hosilasi

2-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x(a,b) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)v(x) ko‘paytmasi ham x(a,b) nuqtada hosilaga ega va

f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) (2)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot

1⁰. f(x)=u(x)v(x).

2⁰. f(x+x)=u(x+x)v(x+x)=(u(x)+u)(v(x)+v)=

=u(x)v(x)+uv(x)+vu(x)+ uv.

3⁰. y= f(x+x)- f(x)= uv(x)+vu(x)+uv.

4⁰. .

5⁰. ==

=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)++u’(x)v.

Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olsak v=0 va natijada (2) formulaga ega bo‘lamiz.

1-natija. Quyidagi (Cu(x))’=Cu’(x) formula o‘rinli.

Isbot. Ikkinchi teoremaga ko‘ra (Cu(x))’=C’u(x)+Cu’(x). Ammo C’=0, demak (Cu(x))’=Cu’(x).

Misollar. 1. (6x²)’=6(x²)’=62x=12x.

2. (x⁴)’=((x²)(x²))’=(x²)’(x²)+(x²)(x²)’=2x(x²)+(x²)2x=4x³.

3. (0,25x4-3x2)’=(0,25x⁴)’+(3x²)’=0,254x³+32x= x³+6x.

2-natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalar x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning ko‘paytmasi f(x)= u₁(x)u₂(x) ...u_n(x) ham x nuqtada hosilaga ega va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

f’(x)= (u₁(x) u₂(x) ...u_n(x))’= u’₁(x) u₂(x) ...u_n(x)+ u₁(x) u’₂(x) ...u_n(x)+...+ u₁(x) u₂(x) ...u’_n(x).

Bo‘linmaning hosilasi

3-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x(a,b) nuqtada hosilaga ega, v(x)0 bo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)/v(x) bo‘linmasi x(a,b) nuqtada hosilaga ega va

f’(x)= (3)

formula o‘rinli bo‘ladi.

Isbot

1⁰. f(x)=.

2⁰. f(x+x)==.

3⁰. y= f(x+x)- f(x)= -=

4⁰. =

5⁰. x0 da limitga o‘tamiz, limitga ega funksiyalarning xossalari va 2-teorema isbotidagi kabi v=0 tenglikdan foydalansak

==

natijaga erishamiz, ya’ni (3) formula o‘rinli ekan.

Yuqori tartibli hosilalar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma'nosi. Hosilaning tadbiqlari. Funksiyaning differensiali. Yuqori tartibli differensiallar. Differensiallardan taqribiy hisoblashlarda foydalanish.

funksiya intervalda aniqlangan bo’lib, uning har bir nuqtasida hosilaga ega bo’lsin. Ravshanki, hosila ham o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Bu hosila ham o’z navbatida biror da hosilaga ega bo’lishi mumkin.

5–ta’rif. Agar funksiya intervalning har bir nuqta-sida hosilaga ega bo’lib, bu funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deb ataladi. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi belgilarning biri orqali yoziladi.

funksiyaning uchinchi, to’rtinchi va h.k tartibdagi hosilalari xuddi shunga o’xshash ta’riflanadi. Umuman, funksiya interval-ning har bir nuqtasida - tartibli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiyaning nuqtadagi hosilasi ( agar u mavjud bo’lsa) funksiyaning nuqtadagi tartibli hosilasi deb ataladi va larning biri orqali belgilanadi. Odatda funksiyaning hosilalari uning yuqori tartibli hosilalari deyiladi.

Shunday qilib, funksiyaning da tartibli hosilasining mavjudligi bu funksiyaning shu nuqta atrofida - tartibli hosila-lari mavjudligini taqozo etadi. Ammo bu hosilalarning mavjutligidan tartibli hosila mavjudligi, umuman aytganda, kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiyaning hosilasi bo’lib, bu funksiya esa da hosilaga ega emas, ya’ni berilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasi mavjud, ikkinchi tartibli hosilasi esa mavjud emas.

Misollar qaraymiz.

1). bo’lsin . Bu funksiyaning hosilalarini ketma-ket hisoblaymiz:

berigan funksiyaning tartibli hosilasi uchun ushbu

formulaning o’rinli bo’lishini matematik induksiya usuli yordamida ko’rsa-tish qiyin emas. Ma’lumki, da

bo’ladi. Endi formula da o’rinli, ya’ni

bo’lsin deb, uning da o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Ta’rifga ko’ra . Demak,

Bu esa formulaning da ham o’rinli bo’lishini bildiradi. Demak, formula ixtiyoriy uchun o’rinli.

da ixtiyoriy haqiqiy son. Xususan, bo’lsin. Unda funksiyaning tartibli hosilasi

bo’ladi.

2). funksiyaning tartibli hosilasini topamiz. Bu funk-siyaning hosilasi bo’lishidan hamda formuladan

formula kelib chiqadi. Demak,

.

3). bo’lsin. Bu funksiyaning hosilalarini ketma-ket hisoblaymiz:

Bu munosabatlarga qarab funksiyaning tartibli hosilasi uchun ushbu

formulani yozamiz. Uning to’g’riligi yana matematik induksiya usuli yordamida osongina isbotlanadi. Demak,

Xususan, uchun .

4). bo’lsin. Ma’lumki , bu funksiya uchun . Biz uni quyidagi

ko’rinishda yozib olamiz. So’ngra funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini hisoblaymiz:

Bu ifodalardan esa funksiyaning tartibli hosilasi uchun

formula kelib chiqadi. Uning to’g’riligi yana matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi. Demak,

.

Xuddi shunga o’xshash

.

Sodda qoidalar. va funksiyalar intervalda aniqlan-gan bo’lib, ular da tartibli hosilalarga ega bo’lsin. Buni quyidagicha tushinish lozim: va funksiyalar nuqtani o’z ichiga olgan intervalda hamda hosilalarga ega bo’lib, nuqtada esa hosilaga ega. U holda

bo’ladi, bunda